Intervall von 0 bis 2 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Das Intervall [0,2] werde in zwei Teile zerlegt, indem man einen Punkt zufällig und gleichverteilt auswählt. Sei t das Längenverhältnis ("kleine/große") Strecke . Berechne die Dichtefunktion der Verteilung von t. |
Hey Leute,
hat vielleicht zu der Aufgabe jemand ne Idee? Braucht man vielleicht vorher die Verteilungsfunktion und muss diese dann ableiten? Falls ja, wie bestimmt man diese? Ich finde die Aufgabe echt schwer und habe keine Idee. Bitte helft mir.
Viele Grüße
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 05.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Daniel,
ich schlage folgende Strategie vor: Du bestimmst die Verteilungsfunktion
$F$ des Verhaeltnisses $T$ und daraus dann die Dichte $f=F'$.
Da der Punkt $X$ eine Gleichverteilung im Intervall (0,2) besitzt, ist
seine Verteilungsfunktion gegeben durch $G(x)=1-x/2$ fuer $0< x < 2$.
Als naechstes musst du dir ueberlegen, welche Werte $T=X/(2-X)$
annehmen kann. Da $X$ Werte in (0,2) annimmt, nimmt $T$ alle Werte $>0$
an.
Sei $t>0$ fest vorgegeben. Gesucht ist [mm] $F(t)=P(T\le t)=P(X/(2-X)\le [/mm] t)$.
Ab hier verlasse ich dich: Loese nach $X$ auf, so dass du die
Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Verteilungsfunktion $G$ von $X$
ausdrueckst.
hth
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
danke für deine Antwort. Bis zur Verteilungsfunktion ist mir das klar. Aber warum geht das jetzt noch weiter? Ich dachte, wenn ich die Verteilungsfunktion habe, kann ich die Dichte einfach durch Ableiten ausrechnen und dann bin ich fertig. Warum machst du jetzt noch mit dem t weiter? Und was ist denn T überhaupt. Das t aus der Aufgabe? Bitte nochmals um Auflösung der Missverständnisse.
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 05.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Gut, es war vielleicht didaktisch ungeschickt, mit $T$ statt mit $t$ zu
argumentieren. Aber im allgemeinen werden Zufallsvariablen in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung mit grossen und deren Realisationen mit
kleinen Buchstaben bezeichnet. Ich hatte angenommen, dass dir diese
Unterschiede bewusst sind und das $t$ aus "Schlampigkeit" verwendet zu
haben.
Du brauchst eine explizite Form von $F(t)$, um die Ableitung ohne grosse
Schwierigkeiten bestimmen zu koennen. Wie weit bist du denn jetzt
gekommen?
Frag weiter, wenn du nicht klar kommst.
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
okay danke soweit. Also hier mein Versuch, die Wahrscheinlichkeit anders auszudrücken:
[mm] F(t)=P(\bruch{x}{2-x})
[/mm]
Nach Def. von G(x) ist dann also x=-2G(x)+1. Es folgt weiter
[mm] P(\bruch{x}{2-x})
[/mm]
[mm] =P(\bruch{-2G(x)+1}{2G(x)-1})
[/mm]
[mm] =P(\bruch{-1(+2G(x)-1)}{2G(x)-1})
[/mm]
=P(-1)
Und was sagt mir das jetzt? -1 liegt doch gar nicht im betr. Intervall. Oder muss ich jetzt noch versuchen das T irgendwie ins Spiel zu bringen. Bloß wie? Wir haben ja kein x mehr? Oder habe ich mich verrechnet? Bitte noch mal um Hilfe bei dem Problem(chen)!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 05.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo, ich mache mal weiter mit meinem Beitrag von 11.07 Uhr. War wohl noch
nicht ganz ausgeschlafen, denn die Verteilungsfunktion von $X$ lautet $G(x)=2x$
fuer $0<x<2$.
Mit der Verteilungsfunktion von $T$ frage ich nach der Wahrscheinlichkeit
dafuer, dass das Mengenverhaeltnis $X/(2-X)$ einen Wert [mm] $\le [/mm] t$
annimmt. Meine Vorgehensweise besteht darin, diese mit Hilfe der
Verteilung von $X$ auszudruecken, also mit $G$. Sei $t>0$ vorgegeben.
[mm] \begin{matrix}
P(T\le t) &=& P(X/(2-X)\le t)\\
&=& P(X\le t(2-X))\\
&=& P((1+t)X\le 2t)\\
&=& P(X\le 2t/(1+t))\\
&=& G(2t/(1+t))\\
&=& \frac{t}{1+t}\\
&=& F(t)\,.
\end{matrix}
[/mm]
Die gesuchte Dichte ist somit [mm] $F'(t)=f(t)=1/(1+t)^2$ [/mm] fuer $t>0$ und
$f(t)=0$ sonst.
Das ging jetzt vielleicht etwas schnell, aber ich rate dir, dich mit dem
Umgang von Zufallsvariablen und ihren Transformationen vertraut zu
machen.
hth
|
|
|
| |
|
Hallo Luis, ich danke dir für deine Hilfe. Ich werde mich da durchfitzen und es mit Sicherheit nicht einfach so geben.
Grüße, Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 So 05.11.2006 | | Autor: | luis52 |
OT: Durchfitzen? Das ist aber kein berliner Ausdruck... 
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
noch mal zu der Aufgabe mit dem Intervall. Zunächst verstehe ich deinen letzten Schritt hier nicht. Muss da nicht, wenn G(x)=2x ist, am Schluss [mm] \bruch{4t}{1+t} [/mm] stehen? Eben wegen der 2? Außerdem muss doch die Integration der Verteilungsfunktion über Omega per Definition 1 sein? Das kriege ich nicht hin. Das wird bei mir nicht eins, weder [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] noch [mm] \bruch{4t}{1+t}. [/mm]
Kannst du mir da noch mal helfen?
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 07.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Daniel,
ich muss mich bei dir entschuldigen, denn ich habe dich vermutlich
sehr verwirrt, indem ich meine erste Loesung verschlimmbessert habe.
Also noch mal ganz ruhig und tief durchatmen...
$X$ besitzt eine Gleichverteilung im Intervall [0,2], so dass die
Dichte dort $g(x)=1/2$ ist. Die Verteilungsfunktion ist die Flaeche
unter der Dichte bis zu $x$. Diese Flaeche ist ein Dreieck mit der
Grundseite $x$ und der Hoehe 1/2, also ist $G(x)=x/2$ und nicht $2x$
;-(
Mit dieser Information bleibt der Rest aber okay, $F(t)=t/(1+t)$ ist
die gesuchte Verteilungsfunktion. Du musst ja bedenken, dass nicht
die Flaeche unter der *Verteilungsfunktion* $F$ Eins sein muss,
sondern die Flaeche unter der *Dichte* $f=F'$, also
[mm] $\int_0^\infty\frac{dt}{(1+t)^2}=1$.
[/mm]
Sorry noch einmal.
|
|
|
| |
|
Hey Luis, super! Ich danke dir vielmals!
Daniel
|
|
|
|
