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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 01.09.2004 | | Autor: | nora |
hey
ich hab hier f(x)=1/3x(hoch 3)-x
und f(x)=1/4x(hoch 4)-1/2x²
jetzt ist die aufgabe: Bestimme die Intervalle, in denen der Graph eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve bildet.
wie mache ich das in dem Fall? kann mir das wer lösen/erklären?
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dazu musst du einfach die wendestellen der funktion herausfinden und halt von welcher zu welcher kurve die funktion wechselt , und schon biste fertig, wenn du nen lösungsansatz haben willst sag bescheid(z.b. wie man ne wendestelle bekommt)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 01.09.2004 | | Autor: | nora |
aber wie soll das bei f(x)=1/3x³-x gehen
da ist f´(x) ja = x²... und da kann man ja nich mehr viel rechnen.
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Die 1. Ableitung reicht dir nicht, wenn du auf die Wendepunkte bzw. das Krümmungsverhalten losgehen willst.
Die vollständige 1. Ableitung wäre übrigens [mm] f'(x)=x^2-1
[/mm]
Aber nun zur Aufgabe: vielleicht wär's als kleine Vorarbeit nicht schlecht, ein oder zwei Sätze über Wendepunkte und Krümmungen zu schreiben.
Was hat ein Wendepunkt überhaupt mit der 2. Ableitung zu tun???
Es ist so: die 1. Ableitung einer Funktion sagt doch was über die Änderungsrate der f(x)-Werte - also die Steigung.
Gleiches Argument: f''(x) ist doch die 1. Ableitung von f'(x) - und somit sagt dir f''(x), wie groß die Änderungsrate von f'(x) ist. Und das (also die Änderungsrate der Steigungen) ist genau die Kurvenkrümmung.
Genug der Theorie - was du daraus mitnehmen sollst:
Zuständigkeiten:
f(x) : y-Werte
f'(x) : Steigungen
f''(x) : Kurvenkrümmung
Und zwar so: f''(x) < 0 -> Rechtskurve
f''(x) > 0 -> Linkskurve
Jetzt siehst du auch, warum man zur Wendepunktsbestimmung f''(x)=0 setzt: der Wendepunkt ist der Punkt einer Kurve, wo sie von einer Links- in eine Rechtskurve, oder umgekehrt wechselt.
Um jetzt noch etwas konkreter auf deine Frage hier zu antworten  :
Finde einfach raus, in welchen Intervallen die 2. Ableitung (ist ja zum Glück ne Funktion 1. Grades) welches Vorzeichen annimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 01.09.2004 | | Autor: | nora |
das weiß ich ja eigentlich alles.. trotzdem, sehr schön erklärt :)
ich find nur die funktion bissl blöd. also f´(x) ist ja x²-1... dann ist f´´(x) ja 2x..
irgendwie hatte mich diese funktion verwirrt.
dann wär notw. Kr.: f´´(xw)=0 -> 2x=0
und hinr. Kr.: f´´(xw)=... 2x=0
f´´´(0)=2.. 2 größer 0.. also liegt bei 0 eine linkskurve?
obwohl f´´´(x) ja nur 2 ist, und man eigentl. nix einsetzen kann. ach mich verwirrt das immer, wenn da keine x mehr sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Andi |
Genug der Theorie - was du daraus mitnehmen sollst:
Hallo Nora, wie du richtig geschrieben hast schaut die zweite Ableitfunktion folgendermaßen aus:
[mm] f''(x)=2x [/mm]
Nun schau dir mal an was e.kandrei zum Krümmungsverhalten von Graphen geschrieben hat:
"
Zuständigkeiten:
f(x) : y-Werte
f'(x) : Steigungen
f''(x) : Kurvenkrümmung
Und zwar so: f''(x) < 0 -> Rechtskurve
f''(x) > 0 -> Linkskurve
"
Du siehst also wenn f''(x) < 0 ist liegt eine Rechtskurve vor.
Wenn f''(x) > 0 liegt eine Linkskurve vor.
Nun schau dir mal deine zweite Ableitung an: [mm] f''(x)=2x [/mm]
Na, wann liegt nun eine Rechtskurve vor ? Wenn f''(x) < 0 ist.
Wann ist f''(x) < 0 ? 2x < 0 , für x < 0. Du siehst also, dass der Graph der Funktion für x < 0 Rechtsgekrümmt ist.
Wann ist er Linksgekrümmt?
mfg Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 01.09.2004 | | Autor: | nora |
wenn x größer 0 ist ;)
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Und um endlich mal auf diese Frage zu antworten
RICHTIG!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 01.09.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Dann mal noch ein paar kleinere Tipps zu der Aufgabe:
Den Wendepunkt bestimmen brauchst du gar nicht. Es reicht schon, dir alle Krümmungsintervalle auszurechnen.
Die 2. Ableitung heißt doch f''(x)=2x
So, jetzt ein wenig rechnen: wann ist 2x<0 , wann ist 2x>0 ?
Damit wirst du 2 Intervalle finden, und von allen Zahlen aus R wird nur noch die Zahl 0 zur Untersuchung übrigbleiben. Die Zahl 0 ist wegen f''(0)=0 ein Kandidat für nen Wendepunkt.
Du brauchst dieses f'''(x)[mm] \ne [/mm]0 - Kriterium eigentlich nicht anwenden, da du schon ein paar Schritte vorher ausgerechnet haben wirst, dass die Kurve links und rechts von der Null verschiedene Krümmungsrichtungen habt, was schon völlig reicht als Bestätigung, dass da ein Wendepunkt liegt!
Aber wenn du solche Überlegungen nicht magst, dann zieh eben knallhart das f'''(x)-Kriterium durch: an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] hat man nen Wendepunkt, wenn [mm] f''(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'''(x_0)[/mm] [mm] \ne [/mm]0 ist - was du selber schon an der Stelle f'''(0)=2 gemerkt hast.
Vorsicht: da hast nen kleinen Denkfehler drin: f'''(0)=2 sagt nix über die Krümmung aus, für Krümmungen ist f''(x) zuständig! Wenn man mal wieder, wie in meinem letzten Posting, f'''(x) als erste Ableitung von f''(x) ansieht, dann gibt die Zahl, die f'''(x) liefert, die Änderungsrate der Krümmung an - vergiss es einfach wieder Das wirst du wirklich nie gefragt werden. Wichtig ist nur, [mm] f'''(x_0)[/mm] [mm] \ne [/mm]0 als Testmethode anzusehen, ob man an der Stelle [mm] x_0 [/mm] nen Wendepunkt hat, oder eben nicht.
Und noch was zu Funktionen oder Ableitungen, bei denen kein x mehr drin steht: vielleicht am Anfang etwas verwirrend, ja. Aber es ist einfach so: wenn in irgendeiner Funktion kein x mehr vorkommt, dann kann man für x alles einsetzen, was man will - es kommt immer diese konstante Zahl dabei raus!!!
Beispiele:
f(x)=5 heißt nur: setz für x ein was du willst - du bekommst immer den y-Wert 5! Also ist es eine Gerade im Koordinatensystem, die immer bei y=5 liegt (eine Parallele zur y-Achse).
f'(x)=-1 heißt: egal, was man für x einsetzt - die 1. Ableitung liefert immer den Wert -1 , das heißt also, dass die Kurve von f(x) immer die Steigung -1 besitzt, und somit eine Gerade mit Steigung -1 sein muss. Erinnerung: f'(x) liefert die Steigungen von f(x) (mathematisch ein wenig salopp formuliert). Wichtig: du weißt zwar, dass f(x) ne Gerade mit Steigung -1 ist, aber nicht, durch welchen Punkt sie geht - diese Information geht beim Ableiten verloren, da konstante Zahlen beim Ableiten wegfallen.
f''(x)=2 heißt, dass die Kurve von f(x) immer, an jeder Stelle, die Krümmung 2 hat - also die ganze Zeit in einer Linkskurve mit immer konstanter Krümmung verläuft. Diese Kurve ist (zum Beispiel) die Normalparabel [mm] f(x)=x^2.
[/mm]
Du siehst, diese Funktionen (oder Ableitungen), die kein x mehr enthalten, sagen dir einfach nur, dass da immer dasselbe rauskommt, egal, was du für x einsetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mi 01.09.2004 | | Autor: | nora |
ahh, gut, alles klar.
vielen dank :)
dann hat andi sich wohl vertan. weil er meinte, es sei eine rechtskurve. naja.. was solls,.. weiß ja, was richtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Mi 01.09.2004 | | Autor: | e.kandrai |
??? Bei was meinte er, es sei eine Rechtskurve? Beziehst du dich da auf mein Besipiel mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] und f''(x)=2 ?
Das es ne Linkskurve ist, siehst du ganz einfach, wenn du dir die Normalparabel zeichnest, das Blatt auf den Tisch legst und mit nem Spielzeugauto auf der Kurve (natürlich von links nach rechts) entlangfährst - eine ständige Linkskurve. Und mit diesem [mm] f(x)=x^2-Beispiel [/mm] merke ich mir das mit der Kurvenkrümmung (wann es welche Krümmung ist)auch - ich weiß, dass die zweite Ableitung f''(x)=2>0 ist, und dass es eine Linkskurve ist.
Oder meinst du was Anderes, wo Andi ne andere Krümmung als ich vermutet? Dann kann's natürlich sein, dass ich mich... ähem... verrechnet hab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 01.09.2004 | | Autor: | nora |
naja, danke für eure mühen. ich rechne jetzt nich mehr.
aber ihr könnt noch eins tun. mir bei der prüfung morgen die daumen drücken. :) ich meld mich dann morgen mal, und sag, wies gelaufen ist.
schönen abend noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Andi |
Also Nora,
ich werd dir morgen ganz doll die Daumen drücken und wünsch dir viel Erfolg bei deiner Prüfung.
Liebe Grüße, Andi.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Andi |
> dann hat andi sich wohl vertan. weil er meinte, es sei
> eine rechtskurve. naja.. was solls,.. weiß ja, was richtig
> ist.
nein, bei deinem Beispiel ist es wirklich für x<0 eine Rechtskurve.
ach übrigens noch eine Anschauliche Anmerkung zur Krümmung:
wenn weißt wie der Graph deiner Funktion ausschaut dann kannst du das Krümmungsverhalten auch folgendermaßen bestimmen:
Stell dir vor du würdest mit einem Fahrrad entlang des Graphen fahren, wenn du nun denLenker nach rechts einschlagen muss um auf dem Graphen zu bleiben ist der Graph der Rechtsgekrümmt
Wenn du den Lenker links einschlagen must um auf dem Graphen zu bleiben ist er dort Linksgekrümmt.
Probier das mal bei deinen Beispielen aus.
Übrigens kannst du Ruhig auch noch die Antworten für dein zweiten Beispiel posten!
mfg Andi
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