Intervallschachtelung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei a [mm] \in \IR [/mm] mit a > 0 und [mm] t_{0} \in \IR [/mm] mit [mm] t_{0} \not= [/mm] 0. Man beachte [mm] t_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}*(t_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{t_{n}}), s_{n} [/mm] := [mm] \bruch {a}{t_{n}}
[/mm]
Für welche a und [mm] t_{0} [/mm] ist die [mm] Menge{[s_{n}, t_{n}]} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine Intervallschachtelung? |
Ich habe das jetzt erst mal experimentell für die Zahlen [mm] t_{0} [/mm] = 5 und a = 2 und auch für a=3 gelöst. Daraus erkenne ich, dass das Ergebnis [mm] \wurzel{a} [/mm] sein muss.
Jetzt weiß ich nur nicht wie ich das beweisen kann also mir a und nicht mit konkreten Zahlen.
[mm] t_{0} [/mm] muss ja größer als [mm] \wurzel{a} [/mm] sein ansonsten wäre es ja keine Intervallschachtelung. sehe ich das bis dahin richtig? könnte mir jemand eine Gedankenstütze geben und mir weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei a [mm]\in \IR[/mm] mit a > 0 und [mm]t_{0} \in \IR[/mm] mit [mm]t_{0} \not=[/mm]
> 0. Man beachte [mm]t_{n+1}[/mm] :=
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm]\bruch{1}{2}*(t_{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{a}{t_{n}}), s_{n}[/mm] := [mm]\bruch {a}{t_{n}}[/mm]
>
> Für welche a und [mm]t_{0}[/mm] ist die [mm]Menge{[s_{n}, t_{n}]}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> eine Intervallschachtelung?
> Ich habe das jetzt erst mal experimentell für die Zahlen
> [mm]t_{0}[/mm] = 5 und a = 2 und auch für a=3 gelöst. Daraus
> erkenne ich, dass das Ergebnis [mm]\wurzel{a}[/mm] sein muss.
>
> Jetzt weiß ich nur nicht wie ich das beweisen kann also
> mir a und nicht mit konkreten Zahlen.
>
> [mm]t_{0}[/mm] muss ja größer als [mm]\wurzel{a}[/mm] sein ansonsten wäre
> es ja keine Intervallschachtelung. sehe ich das bis dahin
> richtig? könnte mir jemand eine Gedankenstütze geben und
> mir weiterhelfen?
Das ist soweit richtig, aber nicht weit genug gedacht. Jedes Intervall muss ja ganz im vorherigen Intervall liegen, also
[mm] [s_{n+1},t_{n+1}]\subsetneq [s_n,t_n][/mm],
und sogar kleiner sein, also [mm] $s_n
Was kannst du aus diesen Ungleichungen machen?
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> > Es sei a [mm]\in \IR[/mm] mit a > 0 und [mm]t_{0} \in \IR[/mm] mit [mm]t_{0} \not=[/mm]
> > 0. Man beachte [mm]t_{n+1}[/mm] :=
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> [mm]\bruch{1}{2}*(t_{n}[/mm] +
> > [mm]\bruch{a}{t_{n}}), s_{n}[/mm] := [mm]\bruch {a}{t_{n}}[/mm]
> >
> > Für welche a und [mm]t_{0}[/mm] ist die [mm]Menge{[s_{n}, t_{n}]}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> > eine Intervallschachtelung?
> > Ich habe das jetzt erst mal experimentell für die
> Zahlen
> > [mm]t_{0}[/mm] = 5 und a = 2 und auch für a=3 gelöst. Daraus
> > erkenne ich, dass das Ergebnis [mm]\wurzel{a}[/mm] sein muss.
> >
> > Jetzt weiß ich nur nicht wie ich das beweisen kann also
> > mir a und nicht mit konkreten Zahlen.
> >
> > [mm]t_{0}[/mm] muss ja größer als [mm]\wurzel{a}[/mm] sein ansonsten wäre
> > es ja keine Intervallschachtelung. sehe ich das bis dahin
> > richtig? könnte mir jemand eine Gedankenstütze geben und
> > mir weiterhelfen?
>
> Das ist soweit richtig, aber nicht weit genug gedacht.
> Jedes Intervall muss ja ganz im vorherigen Intervall
> liegen, also
>
> [mm][s_{n+1},t_{n+1}]\subsetneq [s_n,t_n][/mm],
>
> und sogar kleiner sein, also [mm]s_n
>
> Was kannst du aus diesen Ungleichungen machen?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Wenn ich das jetzt richtig sehe habe ich eine Ungleichung die besagt das
[mm] s_{n} [/mm] < [mm] t_{n+1}
[/mm]
wenn ich dann [mm] s_n [/mm] und [mm] t_{n+1} [/mm] einsetze erhalte ich ja
[mm] \bruch {a}{t_{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}*(t_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{t_{n}}) [/mm]
Soweit jetzt noch richtig oder?
jetzt kann ich ja denke ich zumindest
[mm] \bruch{a}{t_{n}} [/mm] < [mm] \bruch{t_n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{a}{2*t_{n}} [/mm] und das dann auf beiden Seiten *2 rechnen so erhalte ich
[mm] \bruch{2*a}{t_{n}} [/mm] < [mm] t_n [/mm] + [mm] \bruch{a}{t_{n}} [/mm] jetzt kann ich ja mit [mm] \bruch{t_{n}{a}} [/mm] beide seiten multiplizieren und ich erhalte
a < [mm] t_n
[/mm]
Stimmt das jetzt alles?
muss ich am Ende gar nicht auf [mm] \wurzel{a} [/mm] kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Es sei a [mm]\in \IR[/mm] mit a > 0 und [mm]t_{0} \in \IR[/mm] mit [mm]t_{0} \not=[/mm]
> > > 0. Man beachte [mm]t_{n+1}[/mm] :=
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > [mm]\bruch{1}{2}*(t_{n}[/mm] +
> > > [mm]\bruch{a}{t_{n}}), s_{n}[/mm] := [mm]\bruch {a}{t_{n}}[/mm]
> > >
> > > Für welche a und [mm]t_{0}[/mm] ist die [mm]Menge{[s_{n}, t_{n}]}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> > > eine Intervallschachtelung?
> > > Ich habe das jetzt erst mal experimentell für die
> > Zahlen
> > > [mm]t_{0}[/mm] = 5 und a = 2 und auch für a=3 gelöst. Daraus
> > > erkenne ich, dass das Ergebnis [mm]\wurzel{a}[/mm] sein muss.
> > >
> > > Jetzt weiß ich nur nicht wie ich das beweisen kann also
> > > mir a und nicht mit konkreten Zahlen.
> > >
> > > [mm]t_{0}[/mm] muss ja größer als [mm]\wurzel{a}[/mm] sein ansonsten wäre
> > > es ja keine Intervallschachtelung. sehe ich das bis dahin
> > > richtig? könnte mir jemand eine Gedankenstütze geben und
> > > mir weiterhelfen?
> >
> > Das ist soweit richtig, aber nicht weit genug gedacht.
> > Jedes Intervall muss ja ganz im vorherigen Intervall
> > liegen, also
> >
> > [mm][s_{n+1},t_{n+1}]\subsetneq [s_n,t_n][/mm],
> >
> > und sogar kleiner sein, also [mm]s_n
> >
> > Was kannst du aus diesen Ungleichungen machen?
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Wenn ich das jetzt richtig sehe habe ich eine Ungleichung
> die besagt das
> [mm]s_{n}[/mm] < [mm]t_{n+1}[/mm]
>
> wenn ich dann [mm]s_n[/mm] und [mm]t_{n+1}[/mm] einsetze erhalte ich ja
> [mm]\bruch {a}{t_{n}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}*(t_{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{a}{t_{n}})[/mm]
> Soweit jetzt noch richtig oder?
>
> jetzt kann ich ja denke ich zumindest
> [mm]\bruch{a}{t_{n}}[/mm] < [mm]\bruch{t_n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{a}{2*t_{n}}[/mm] und
> das dann auf beiden Seiten *2 rechnen so erhalte ich
>
>
> [mm]\bruch{2*a}{t_{n}}[/mm] < [mm]t_n[/mm] + [mm]\bruch{a}{t_{n}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt kann ich
> ja mit [mm]\bruch{t_{n}{a}}[/mm] beide seiten multiplizieren und ich
> erhalte
>
> a < [mm]t_n[/mm]
Also ich bekomme da [mm] $a
Übrigens ist damit auch [mm] $s_n [/mm] = [mm] \bruch{a}{t_n} [/mm] < [mm] \sqrt{a}$.
[/mm]
Und ferner gilt [mm] $t_{n+1}-s_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (t_n-s_n)$, [/mm] sodass die Kovergenz gegen [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] gesichert ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Sa 24.10.2009 | | Autor: | SuperHomer |
> Also ich bekomme da [mm]a
>
> Übrigens ist damit auch [mm]s_n = \bruch{a}{t_n} < \sqrt{a}[/mm].
>
> Und ferner gilt [mm]t_{n+1}-s_{n+1} = \bruch{1}{2} (t_n-s_n)[/mm],
> sodass die Kovergenz gegen [mm]\sqrt{a}[/mm] gesichert ist.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
ja kommt auch raus... habe es jetzt auch. War nur zu dumm richtig aufzulösen -.- naja was solls ich danke ihnen für ihre schnellen antworten, ich bin froh das ich das jetzt verstanden habe.
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