Intervallschachtelung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] a_{0}, b_{0} \in \IR, [/mm] 0 < [mm] a_{0} [/mm] < [mm] b_{0}, [/mm] und durch
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}, b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}+b_{n}}{2}
[/mm]
zwei Zahlenfolgen [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}), [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] definiert. Beweisen Sie, dass mit [mm] (a_{n},b_{n}) [/mm] eine Intervallschachtelung gegeben ist. Was kann über die durch diese Intervallschachtelung bestimmte Zahl gesagt werden? |
Hallo zusammen,
hier eine Aufgabe von meinem Analysis I Blatt.
Habe aus meiner Vorlesung eine schöne Definition der Intervallschachtelung gefunden, jedoch habe ich Probleme diese anzuwenden (wie so oft)...
"Eine Folge abgeschlossener Intervalle [mm] I_{n}=[a_{n}, b_{n}] [/mm] heißt Intervallschachtelung, wenn [mm] I_{n+1} [/mm] < [mm] I_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_{n}-a_{n})=0."
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Viele Grüße
kaykay_22
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wegen [mm]b_0 > a_0 > 0[/mm] liefern die Rekursionsbeziehungen nur positive Werte.
Es ist [mm]a_{n+1}[/mm] das harmonische Mittel und [mm]b_{n+1}[/mm] das arithmetische Mittel von [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]. Daher gilt [mm]a_{n+1} < b_{n+1}[/mm]. Somit wird durch [mm]I_n = \left[ a_n , b_n \right][/mm] tatsächlich sinnvoll ein Intervall festgelegt.
[mm]a_{n+1} > a_n[/mm] und [mm]b_{n+1} < b_n[/mm] folgt aus [mm]a_n < b_n[/mm], wenn man links die Rekursionsbeziehungen einsetzt. Damit steigt die Folge der [mm]a_n[/mm] (sie ist auch nach oben beschränkt) und fällt die Folge der [mm]b_n[/mm] (sie ist auch nach unten beschränkt). Beide Folgen [mm](a_n),(b_n)[/mm] besitzen daher Grenzwerte [mm]\alpha[/mm] bzw. [mm]\beta[/mm]. Durch Grenzübergang in den Rekursionsbeziehungen folgt: [mm]\alpha = \beta[/mm]. Übrigens gilt [mm]\alpha = \beta = \sqrt{a_0 \, b_0}[/mm].
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