Intgr. Sin(x)Cos(x)e^(aCos(x)) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo zusammen,
ich sitze schon eine weile an folgendem Integral und habe schon sämtliche partielle Integrationsmöglichkeiten ausporbiert (einmal sin(x)cos(x) als f(x) und exp(aCos(x)) als g'(x) betrachtet, einmal anderesherum und alle anderen Kombinationsmöglichkeiten):
[mm] \integral{Sin(x)Cos(x)exp(a\cdot Cos(x)) dx}
[/mm]
(teilweise muss ich nach mehrmaligen partiellen Integrieren auch die Stammfunktion von [mm] exp(a\cdot [/mm] Cos(x)) berechnen, was überhaupt nicht gelingt.....)
Also, falls jemand eine Idee hat, wie man dies per Hand integriert, nur her damit 
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
substituiere zunächst [mm] $u:=a\cdot{}\cos(x)$
[/mm]
Dann kommst du auf ein Integral in u, das du mit partieller Integration leicht erschlagen kannst ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
dann habe ich sowas wie
[mm] \integral{Sin(x)Cos(x)exp(a\cdot Cos(x)) dx}
[/mm]
= [mm] sin(x)\cdot sin(x)\cdot e^u-\integral{-cos(x)\cdot sin(x)\cdot e^u}
[/mm]
womit ich wieder beim anfang wäre.
Gruß,
Rutzel
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> dann habe ich sowas wie
>
> [mm]\integral{Sin(x)Cos(x)exp(a\cdot Cos(x)) dx}[/mm]
>
> = [mm]sin(x)\cdot sin(x)\cdot e^u-\integral{-cos(x)\cdot sin(x)\cdot e^u}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das sieht wie eine Mischung aus Substituition un partieller Integration aus.
Du solltest mittels der Substitution [mm] $\green{u:=a\cdot{}\cos(x)}$ [/mm] alle Ausdrücke, die im Ausgangsintegral in x stehen durch welche in u ersetzen:
[mm] $u=a\cdot{}\cos(x)\Rightarrow u'=\frac{du}{dx}=-a\cdot{}\sin(x)\Rightarrow \red{dx=-\frac{du}{a\cdot{}\sin(x)}}$
[/mm]
Ebenso folgt aus [mm] $u=a\cdot{}\cos(x)$, [/mm] dass [mm] $\blue{\cos(x)=\frac{u}{a}}$ [/mm] ist
Also [mm] $\int{\sin(x)\cdot{}\blue{\cos(x)}\cdot{}\exp(\green{a\cdot{}\cos(x)}) \ \red{dx}}=\int{\sin(x)\cdot{}\blue{\frac{u}{a}}\cdot{}\exp(\green{u}) \ \left(\red{-\frac{du}{a\cdot{}\sin(x)}}\right)}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{a^2}\cdot{}\int{u\cdot{}\exp(u) \ du}$
[/mm]
Das kannst du nun einfach partiell integrieren und am Ende resubstituieren
>
> womit ich wieder beim anfang wäre.
>
> Gruß,
> Rutzel
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo schachuzipus,
vielen vielen Dank für Deine tolle Erklärung
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ansonsten müsste es auch klappen, wenn du u:=cosx und [mm] v':=sinx*e^{a*cosx} [/mm] setzt und dann partiell integrierst.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 29.09.2008 | | Autor: | weduwe |
partielle integration führt eh zum ziel
[mm] I=\integral_{}^{}sinx\cdot cosxe^{a\cdot cosx dx}
[/mm]
[mm] I=-\frac{cosx}{a}e^{a\cdot cosx}-\frac{1}{a}\integral_{}^{}{sinx\cdot e^{a\cdot cosx} dx}=-\frac{cosx}{a}e^{a\cdot cosx}+\frac{1}{a^2}e^{a\cdot cosx}=e^{a\cdot cosx}\cdot\frac{1-a\cdot cosx}{a^2}
[/mm]
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