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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 02.09.2009 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Sei S ein Unterraum mit x [mm] \in [/mm] S [mm] \gdw x^T \I1 [/mm] = 0.
Dabei ist [mm] \I1 [/mm] der konstante Vektor mit Einträgen 1.
Zudem sei L die Laplace Matrix eines zusammenhängenden, ungerichteten Graphen.
Zeigen Sie, dass S invariant unter L ist, d.h. Lx [mm] \in [/mm] S, [mm] \forall x\in [/mm] S.
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Hallo!
Ich wollte nur kurz fragen, ob mein Vorgehen so richtig ist:
Ich muss zeigen, dass Lx [mm] \in [/mm] S [mm] \gdw (Lx)^T \I1 [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x.
Umformen ergibt [mm] x^T [/mm] L [mm] \I1 [/mm] = 0.
Da L aber die Laplace Matrix eines zusammenhängenden Graphen ist, gilt immer: L [mm] \I1 [/mm] = 0. Damit ist [mm] (Lx)^T \I1 [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x und somit ist S invariant unter L.
Ist das so in Ordnung? Kommt mir zu einfach vor...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:06 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei S ein Unterraum mit x [mm]\in[/mm] S [mm]\gdw x^T \I1[/mm] = 0.
> Dabei ist [mm]\I1[/mm] der konstante Vektor mit Einträgen 1.
> Zudem sei L die Laplace Matrix eines zusammenhängenden,
> ungerichteten Graphen.
Die Laplace-Matrix ist wie ![[]](/images/popup.gif) hier definiert, oder?
> Zeigen Sie, dass S invariant unter L ist, d.h. Lx [mm]\in[/mm] S,
> [mm]\forall x\in[/mm] S.
>
>
> Ich wollte nur kurz fragen, ob mein Vorgehen so richtig
> ist:
>
> Ich muss zeigen, dass Lx [mm]\in[/mm] S [mm]\gdw (Lx)^T \I1[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm]
> x.
Ja.
> Umformen ergibt [mm]x^T[/mm] L [mm]\I1[/mm] = 0.
Nein! Du bekommst [mm] $x^T L^T \I1 [/mm] = 0$.
> Da L aber die Laplace Matrix eines zusammenhängenden
> Graphen ist, gilt immer: L [mm]\I1[/mm] = 0.
Das gilt ebenso fuer die Transponierte, also [mm] $L^T \I1 [/mm] = 0$.
Wofuer braucht man hier, dass der Graph zusammenhaengend ist? Die Bedingung [mm] $L^T \I1 [/mm] = 0$ gilt ebenso fuer nicht-zusammenhaengende Graphen.
> Damit ist [mm](Lx)^T \I1[/mm] =
> 0 [mm]\forall[/mm] x und somit ist S invariant unter L.
>
> Ist das so in Ordnung? Kommt mir zu einfach vor...
Bis auf das transponieren ist alles in Ordnung.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 03.09.2009 | | Autor: | papillon |
Hallo Felix,
danke für die rasche Antwort. Du hast recht, es ist natürlich [mm] L^T. [/mm] Und man braucht tatsächlich nicht zu fordern, dass der Graph zusammenhängend ist. Der Eigenwert 0 und zugehöriger Eigenvektor [mm] \I1 [/mm] sind immer vorhanden.
Gruß
Papillon
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