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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Fr 26.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | A seine eine invertierbare Matrix und B die Inverse von A². Nun gilt:
1. AB und [mm] A^{-1} B^{-1} [/mm] stimmen überein
2. AB ist die Inverse von A
3. AB ist die Inverse von B
4. AB ist die Inverse von BA.
5. B muss dar nicht existieren (nur von A, nicht von A² war Invertierbarkeit gefordert) |
Hallo Zusammen,
ich habe mir das so überlegt:
Matrix Inverse
A [mm] A^{-1}
[/mm]
A² B
Dann würde für [mm] B^{-1} [/mm] = A² gelten. Es gilt also:
[mm] B^{-1} [/mm] = A² | [mm] \cdot{} A^{-1}
[/mm]
[mm] A^{-1} \cdot{} B^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1} \cdot{} [/mm] A² = A
Wie kann ich nun weitermachen um zu sehen, welche Aussage stimmen würde?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
Zu 1. Zeige: AB und $ [mm] A^{-1} B^{-1} [/mm] $ stimmen überein [mm] \gdw [/mm] B = Einheitsmatrix
Zu 2. 2. ist richtig. Berechne mal A(AB)
Zu 3. Wenn 3. richtig ist, so muß wegen 2. A = B sein
Zu 4. Berechne mal (BA)(AB)
Zu 5. Wenn 5. richtig wäre, so wären die Aufgabenteile 1. - 4. sinnlos. Spaß beiseite: B existiert
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 26.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Tipps:
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> Zu 2. 2. ist richtig. Berechne mal A(AB)
Wie kann ich denn A(AB) berechnen?
Stimmt mein Ansatz?:
Dann würde für $ [mm] B^{-1} [/mm] $ = A² gelten. Es gilt also:
$ [mm] B^{-1} [/mm] $ = A² | $ [mm] \cdot{} A^{-1} [/mm] $
$ [mm] A^{-1} \cdot{} B^{-1} [/mm] $ = $ [mm] A^{-1} \cdot{} [/mm] $ A² = A
Lässt sich nicht daraus folgern, das AB das Inverse von A ist.
Danke,
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Tipps:
> >
> > Zu 2. 2. ist richtig. Berechne mal B die Inverse von A²
>
> Wie kann ich denn A(AB) berechnen?
Wenn Du nicht benutzt, dass B die Inverse von A² ist kannst Du es natürlich nicht berechnen
Es ist [mm] B^{-1}= A^2, [/mm] also ist A(AB) = A^2B = [mm] B^{-1}B [/mm] = Einheitsmatrix
>
> Stimmt mein Ansatz?:
>
> Dann würde für [mm]B^{-1}[/mm] = A² gelten. Es gilt also:
>
> [mm]B^{-1}[/mm] = A² | [mm]\cdot{} A^{-1}[/mm]
> [mm]A^{-1} \cdot{} B^{-1}[/mm] =
> [mm]A^{-1} \cdot{}[/mm] A² = A
>
>
> Lässt sich nicht daraus folgern, das AB das Inverse von A
> ist.
>
>
> Danke,
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 26.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
kann man das Ganze nicht so ausführlich formulieren:
[mm] $B^{-1} [/mm] = A²$
[mm] $A^{-1} \cdot{} B^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1} \cdot{} [/mm] A [mm] \cdot{} [/mm] A$
[mm] $A^{-1} \cdot{} B^{-1} [/mm] = E [mm] \cdot{} [/mm] A$
[mm] $A^{-1} \cdot{} B^{-1} [/mm] = A$
[mm] $A^{-1} \cdot{} B^{-1} \cdot{} [/mm] B = A [mm] \cdot{} [/mm] B$
[mm] $A^{-1} \cdot{} [/mm] E = A [mm] \cdot{} [/mm] B$
[mm] $A^{-1} [/mm] = A [mm] \cdot{} [/mm] B$
das wäre es doch dann AB ist die Inverse von A. Somit stimmt nur Aussage 2.
Mit dem anderen Ansatz A(AB) würde man so zum Ziel kommen:
$A(AB) = A²B = [mm] B^{-1} \cdot{} [/mm] B = E$
$-> A(AB) = E$
$A [mm] \cdot{} A^{-1} \cdot{} [/mm] (AB) = [mm] A^{-1} \cdot{} [/mm] E$
$E [mm] \cdot{} [/mm] (AB) = [mm] A^{-1}$
[/mm]
$AB = [mm] A^{-1}$
[/mm]
Etwas eleganter.
Stimmen diese beiden Varianten so?
Gruß
itse
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> Hallo,
>
> kann man das Ganze nicht so ausführlich formulieren:
>
> [mm]B^{-1} = A²[/mm]
> [mm]A^{-1} \cdot{} B^{-1} = A^{-1} \cdot{} A \cdot{} A[/mm]
>
> [mm]A^{-1} \cdot{} B^{-1} = E \cdot{} A[/mm]
> [mm]A^{-1} \cdot{} B^{-1} = A[/mm]
>
> [mm]A^{-1} \cdot{} B^{-1} \cdot{} B = A \cdot{} B[/mm]
> [mm]A^{-1} \cdot{} E = A \cdot{} B[/mm]
>
> [mm]A^{-1} = A \cdot{} B[/mm]
>
Hallo,
wenn Du noch ein paar Äquivalenzpfeile setzt, kannst Du das so machen.
Aber mach Dir unbedingt nochmal klar, daß die Inverse von A die Matrix ist, die mit A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.
Klar?
Dann kann's weitergehen:
> Mit dem anderen Ansatz A(AB) würde man so zum Ziel kommen:
>
> [mm]A(AB) = A²B = B^{-1} \cdot{} B = E[/mm]
>
> [mm]-> A(AB) = E[/mm]
Damit bist Du bereits fertig; die Matrix AB ergibt multipliziert mit A die Einheitsmatrix, also ist sie die Inverse zu A.
In Zeichen
A(AB) = E ==> [mm] A^{-1}=AB
[/mm]
Das Tamtam von unten brauchst Du nicht. Es macht nichts klarer.
Gruß v. Angela
>
> [mm]A \cdot{} A^{-1} \cdot{} (AB) = A^{-1} \cdot{} E[/mm]
> [mm]E \cdot{} (AB) = A^{-1}[/mm]
>
> [mm]AB = A^{-1}[/mm]
>
> Etwas eleganter.
>
> Stimmen diese beiden Varianten so?
>
> Gruß
> itse
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