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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 02.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Zeige, dass eine obere Dreiecksmatrix genau dann invertierbar ist, wenn alle Diagonalelemente [mm] a_{ii},i=1,...,n, [/mm] verschieden von 0 sind. |
A= $ [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... &a_{1n} \\ 0& a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\0&0&...&0&a_{nn}} [/mm] $
Ich schaffe es nicht die Determinante von A auszurechenen. Habe es versucht mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.
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> Zeige, dass eine obere Dreiecksmatrix genau dann
> invertierbar ist, wenn alle Diagonalelemente
> [mm]a_{ii},i=1,...,n,[/mm] verschieden von 0 sind.
> A= [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... &a_{1n} \\ 0& a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\0&0&...&0&a_{nn}}[/mm]
>
> Ich schaffe es nicht die Determinante von A auszurechenen.
> Habe es versucht mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.
Das ist auch die richtige Idee dazu.
Dann zeige doch aber mal, wie du dabei vorgehst !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 02.01.2012 | | Autor: | quasimo |
A= $ [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... &a_{1n} \\ 0& a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\0&0&...&0&a_{nn}} [/mm] $
det A=?
Ich entwickle nach der ersten Spalte!
[mm] a_{11} [/mm] * [mm] \vmat{ a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\0&...&0&a_{nn}} [/mm]
nun nach der ersten Spalte
[mm] a_{11}*a_{22}*\vmat{a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\ddots&a_{n-1}\\0&...&a_{nn}} [/mm]
Bei mir geht das schief!
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> A= [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... &a_{1n} \\
0& a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\
0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\
0&0&...&0&a_{nn}}[/mm]
>
> det A=?
> Ich entwickle nach der ersten Spalte!
> [mm]a_{11}[/mm] * [mm]\vmat{ a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\
0&a_{33}&\ddots&\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\
0&...&0&a_{nn}}[/mm]
> nun nach der ersten Spalte
> [mm]a_{11}*a_{22}*\vmat{a_{33}&\ddots&\vdots \\
\vdots&\ddots&a_{n-1}\\
0&...&a_{nn}}[/mm]
> Bei mir geht das schief!
Was soll da schief gehen? Das ist schon so in Ordnung.
Du kommst doch auf das Produkt der Hauptdiagonalelemente.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 02.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich komme da aber nicht ganz weiter:
$ [mm] a_{11}\cdot{}a_{22}\cdot{}\vmat{a_{33}&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&...&a_{nn}} [/mm] $
[mm] a_{11}*a_{22}*a_{33}* \vmat{\ddots&a_{n-1}\\..&a_{nn}} [/mm]
Ich dachte vorher, dass ich jetzt die Determinante ausrechnen kann, aber es sind ja trotzdem noch endlich viele Einheiten in der Determinante.
LG
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Hallo,
entwickle halt immer weiter nach der ersten Spalte.
Mach's, damit Du gut kapierst, wie es geht, zunächs mal für eine [mm] 11\times [/mm] 11-Matrix oder so.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 02.01.2012 | | Autor: | quasimo |
Das Prinzip vom Laplace´sche Entwicklungssatz verstehe ich ja.
Ich hoffe jetzt stimmts!
det A =det$ [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... &a_{1n} \\ 0& a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&\ddots&\vdots \\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&a_{n-1.n}\\0&0&...&0&a_{nn}} [/mm] $
[mm] =a_{11}*a_{22}*a_{33}....a_{n-2.n-2} [/mm] * [mm] \vmat{ a_{n-1.n-1} & a_{n-1.n} \\ 0 & a_{nn} }=a_{11}*a_{22}*a_{33}....a_{n-2.n-2} *a_{n-1.n-1}*a_{nn} [/mm]
->Diagonalelemente dürfen nicht 0 sein.
LG
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Hallo,
ja, genau.
Wenn die Matrix invertierbar ist, ist sie [mm] \not=0, [/mm] also müssen die Diagoalelemente [mm] \not=0 [/mm] sein.
LG Angela
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