Inverse Funktion berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 14.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion f an mit f(x,y)= [mm] exp(x)*cos(y)*e_{1} [/mm] + [mm] exp(x)*sin(y)*e_{2}, [/mm] mit (x,y) [mm] \in \IR^2 (e_{1}, e_{2} [/mm] bezeichnen die Einheitsvektoren in [mm] \IR^2) [/mm] |
Hallo,
also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und (ii) exp(x)*sin(y)=:b.
Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und addiert, sodass ich auf exp(2x)= [mm] a^2 +b^2 [/mm] kam, (da ja [mm] sin^2(y) +cos^2(y) [/mm] =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2 geteilt und kam somit auf x= [mm] ln(a^2 +b^2)/2.
[/mm]
Wenn ich das nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y= [mm] cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).
[/mm]
Würde ich nun aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y= [mm] sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).
[/mm]
Was ist da nun richtig von beidem? [mm] cos^{-1} [/mm] und [mm] sin^{-1} [/mm] haben doch 2 verschiedene Wertebereiche...?
Die inverse Funktion wäre somit [mm] \overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2} [/mm] bzw. = [mm] =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.
[/mm]
Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0) passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht definiert hab?
Wäre euch um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
> Hallo,
> also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und (ii)
> exp(x)*sin(y)=:b.
> Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und addiert,
> sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
> Wenn ich das
> nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> Würde ich nun
> aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> Was ist da nun
> richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> verschiedene Wertebereiche...?
Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
> Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]
> bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>
> Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> definiert hab?
Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
> Wäre euch um jede Hilfe dankbar.
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 14.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Hallo ms2008de,
>
> > Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> > f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> > mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> > Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
> > Hallo,
> > also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und
> (ii)
> > exp(x)*sin(y)=:b.
> > Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und
> addiert,
> > sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> > =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> > geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
> > Wenn ich
> das
> > nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> > [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> > Würde ich
> nun
> > aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> > [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> > Was ist da
> nun
> > richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> > verschiedene Wertebereiche...?
>
>
> Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
>
Sorry, aber wie meinst du das?
>
> > Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]
> > bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>
> >
> > Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> > passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> > definiert hab?
>
>
> Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
>
Anscheinend nicht , denn dann müsste [mm] e^x*(sin(y) [/mm] +cos(y)) 0 werden, dass [mm] e^x [/mm] nicht null werden kann ist mir klar, aber wieso kann sin(y)+cos(y) nicht 0 werden?
>
> > Wäre euch um jede Hilfe dankbar.
> >
> > Viele Grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> > Hallo ms2008de,
> >
> > > Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> > > f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> > > mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> > > Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
> > > Hallo,
> > > also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a und
> > (ii)
> > > exp(x)*sin(y)=:b.
> > > Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und
> > addiert,
> > > sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> > > =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> > > geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
> > >
> Wenn ich
> > das
> > > nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> > > [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> > > Würde
> ich
> > nun
> > > aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> > > [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> > > Was ist
> da
> > nun
> > > richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> > > verschiedene Wertebereiche...?
> >
> >
> > Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
> >
> Sorry, aber wie meinst du das?
Die Funktion lautet ausgeschrieben so:
[mm]f\left(x,y\right)=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right*e_{1}+\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)*e_{2}=\pmat{\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right) \\ \operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)}[/mm]
Dann ist
[mm]b=\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)[/mm]
[mm]a=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right)[/mm]
> >
> > > Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]
> > > bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> > > passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> > > definiert hab?
> >
> >
> > Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
> >
> Anscheinend nicht , denn dann müsste [mm]e^x*(sin(y)[/mm] +cos(y))
> 0 werden, dass [mm]e^x[/mm] nicht null werden kann ist mir klar,
> aber wieso kann sin(y)+cos(y) nicht 0 werden?
Siehe oben.
> >
> > > Wäre euch um jede Hilfe dankbar.
> > >
> > > Viele Grüße
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 14.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Hallo ms2008de,
>
>
> > > Hallo ms2008de,
> > >
> > > > Geben Sie, wenn möglich die inverse Abbildung der Funktion
> > > > f an mit f(x,y)= [mm]exp(x)*cos(y)*e_{1}[/mm] + [mm]exp(x)*sin(y)*e_{2},[/mm]
> > > > mit (x,y) [mm]\in \IR^2 (e_{1}, e_{2}[/mm] bezeichnen die
> > > > Einheitsvektoren in [mm]\IR^2)[/mm]
> > > > Hallo,
> > > > also ich hab mal definiert (i) exp(x)*cos(y)=:a
> und
> > > (ii)
> > > > exp(x)*sin(y)=:b.
> > > > Dann hab ich die beiden Gleichungen quadriert und
> > > addiert,
> > > > sodass ich auf exp(2x)= [mm]a^2 +b^2[/mm] kam, (da ja [mm]sin^2(y) +cos^2(y)[/mm]
> > > > =1 für alle y). Dann hab ich den ln gezogen, durch 2
> > > > geteilt und kam somit auf x= [mm]ln(a^2 +b^2)/2.[/mm]
> > > >
>
> > Wenn ich
> > > das
> > > > nun in (i) eingesetzt hab, kam ich auf: y=
> > > > [mm]cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> > > >
> Würde
> > ich
> > > nun
> > > > aber in (ii) einsetzen, kämeich auf y=
> > > > [mm]sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}).[/mm]
> > > > Was
> ist
> > da
> > > nun
> > > > richtig von beidem? [mm]cos^{-1}[/mm] und [mm]sin^{-1}[/mm] haben doch 2
> > > > verschiedene Wertebereiche...?
> > >
> > >
> > > Bilde hier den Quotienten [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
> > >
> > Sorry, aber wie meinst du das?
>
>
> Die Funktion lautet ausgeschrieben so:
>
> [mm]f\left(x,y\right)=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right*e_{1}+\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)*e_{2}=\pmat{\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right) \\ \operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]b=\operatorname{exp}\left(x\right)*\sin\left(y\right)[/mm]
>
> [mm]a=\operatorname{exp}\left(x\right)*\cos\left(y\right)[/mm]
>
>
Ah, dann wäre y= [mm] cot(\bruch{b}{a}) [/mm] oder eben [mm] tan(\bruch{a}{b}).
[/mm]
Versteh aber noch immer nicht, wo der Fehler in meiner ursprünglichen Rechnung lag, wo ich auf Arcussinus, bzw. Arcuskosinus kam...?
Könnt mir vielleicht das noch jemand bitte erklären?
> > >
> > > > Die inverse Funktion wäre somit [mm]\overline{f}(x,y) =(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (cos^{-1}(\bruch{a}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}[/mm]
> > > > bzw. = [mm]=(\bruch{ln(x^2+y^2}{2})*e_{1}+ (sin^{-1}(\bruch{b}{\wurzel{a^2 +b^2}}))*e_{2}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und dann wär da noch die Frage was im Punkt (0,0)
> > > > passiert, wo ich die inverse Funktion bis dahin nicht
> > > > definiert hab?
> > >
> > >
> > > Bildet die Funktion überhaupt auf diesen Punkt ab?
> > >
> > Anscheinend nicht , denn dann müsste [mm]e^x*(sin(y)[/mm] +cos(y))
> > 0 werden, dass [mm]e^x[/mm] nicht null werden kann ist mir klar,
> > aber wieso kann sin(y)+cos(y) nicht 0 werden?
>
>
> Siehe oben.
>
>
> > >
> > > > Wäre euch um jede Hilfe dankbar.
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Fr 15.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ah, dann wäre y= [mm]cot(\bruch{b}{a})[/mm] oder eben
> [mm]tan(\bruch{a}{b}).[/mm]
> Versteh aber noch immer nicht, wo der Fehler in meiner
> ursprünglichen Rechnung lag, wo ich auf Arcussinus, bzw.
> Arcuskosinus kam...?
> Könnt mir vielleicht das noch jemand bitte erklären?
Kein prinzipieller Fehler, nur eine Mehrdeutigkeit. Du hast aus
(*) [mm] \cos y = \bruch{a}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]
auf
[mm] y = \arccos \bruch{a}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]
geschlossen. Das ist nur dann richtig, wenn du $y$ auf das Intervall [mm] $[0,\pi)$ [/mm] einschränkst, denn nur dann ist der Cosinus eineindeutig und damit umkehrbar. Zum Beispiel ist zu jedem möglichen Wert von $y$ auch $-y$ eine Lösung der Gleichung (*).
Das Gleiche gilt für die zweite Gleichung mit [mm] $\sin [/mm] y$; beide Gleichungen zusammen legen $y$ eindeutig im Interval [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] fest. Aber wenn du auf $y$ ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von [mm] $2\pi$ [/mm] draufaddierst, bekommst du wieder einen möglichen Wert von $y$.
Dasselbe Problem tritt auf, wenn du von kartesischen Koordinaten $(x,y)$ in Polarkoordinaten $r$ und [mm] $\phi$ [/mm] umrechnest. $r$ ist eindeutig bestimmt, aber aus [mm] $x=r\cos \phi$ [/mm] bekommst du [mm] $\phi$ [/mm] nicht eindeutig heraus.
Die Darstellung [mm] $y=\arctan\bruch{b}{a}$ [/mm] ist da auch nicht besser; dadurch bekommst du sogar nur Werte im Intervall [mm] $(-\pi/2,+\pi/2)$ [/mm] und du musst a) das Vorzeichen von $a$ und $b$ berücksichtigen, um den richtigen Wert von y im Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] auszurechnen, und den Fall $a=0$ getrennt behandeln: je nach Vorzeichen von $b$ ergibt das [mm] $y=\pi/2 [/mm] + [mm] 2k\pi$ [/mm] oder [mm] $y=-\pi/2+2k\pi$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
