Inverse Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Tschulie |
beweise dass die inverse einer symmetrischen Matrix symmetrisch ist.
mein problem ist dass ich des zwar in nem beispiel machen kann aber des ist ja leider kein beweis. reicht es einfach den beispiel mit variablen durchzu führen? wohl auch nicht oder?
also weiß jemand wie ich das mit beweis machen könnte außer eben ein beispiel?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.youngmiss.de
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Hallo Tschulie!
Also, eine Anrede wäre auch nicht schlecht gewesen. Hast du schon unsere Forenregeln gelesen?
Aber trotzdem erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> beweise dass die inverse einer symmetrischen Matrix
> symmetrisch ist.
>
> mein problem ist dass ich des zwar in nem beispiel machen
> kann aber des ist ja leider kein beweis. reicht es einfach
> den beispiel mit variablen durchzu führen? wohl auch nicht
> oder?
> also weiß jemand wie ich das mit beweis machen könnte
> außer eben ein beispiel?
Also, "Beispiel mit Variablen" hört sich etwas seltsam an, aber wenn du das meinst, was ich meine, dann müsste das eigentlich reichen. Also, du kannst eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix nehmen, und als Einträge [mm] a_{11}, a_{12} [/mm] usw. nehmen, allerdings musst du die dann symmetrisch dahinschreiben, d. h., es gibt dann kein [mm] a_{21}, [/mm] sondern an dieser Stelle steht dann ja wieder [mm] a_{12}. [/mm] Wenn du dann davon die Inverse berechnest (nach welchen Verfahren auch immer), müsste du das Ergebnis erhalten und das müsste auch eigentlich reichen. Du hast ja schließlich keine speziellen Einträge genommen, sondern nur [mm] a_{ij}s.
[/mm]
Ansonsten würde mir noch Induktion einfallen, d. h., vielleicht musst du das hier sogar noch zusätzlich anwenden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Tschulie
Du kannst auch ohne Matrizenelemente arbeiten. Nütze aus, dass die Einheitsmatrix auch symmetrisch ist. Transponiere die Gleichung $A [mm] A^{-1}=I$ [/mm] und benütze, dass
i) A und I symmetrisch sind und
ii) die Inverse eindeutig bestimmt ist.
Dann kannst du daraus auf [mm] $(A^{-1})^T=A^{-1}$ [/mm] schliessen.
mfG Moudi
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