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| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Basis:
[mm] V=\{ v1= \vektor{1 \\ -5 \\ -3} , v2= \vektor{3 \\ 0 \\ 1} , v3= \vektor{1 \\ 2 \\ -3} \} \subseteq \IR^{3}
[/mm]
Ein Vektor x [mm] \in \IR^{3} [/mm] bezüglich der Basis V kann geschrieben werden als Linearkombination der Basisvektoren:
x = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3} [/mm] xivi
Die Basisvektoren der Basis V können als Koordinatenachsen eines lokalen Koordinatensystems betrachtet werden. Entsprechend kann ein Vektor bezüglich der Basis V als Vektor in diesem lokalen Koordinatensystem interpretiert werden.
a) Sei v = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ein Vektor bezüglich der Basis V. Transformieren Sie v um in einen Vektor w [mm] \in \IR^{3} [/mm] bezüglich der natürlichen Basis [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } \} \subseteq \IR^{3}.
[/mm]
b) Finden Sie eine Matrix M, die allgemein einen Vektor v [mm] \in \IR^{3} [/mm] bzgl. der Basis V in einen Vektor w [mm] \in \IR^{3} [/mm] bzgl. der natürlichen Basis transfomiert.
c) Prüfen Sie, dass die inverse Matrix [mm] M^{-1} [/mm] Vektoren bezüglich der natürlichen Basis in Vektoren bezüglich V tranformiert, indem Sie den in Aufgabenteil a) ermittelten Vektor zurücktransformieren. |
Hallo Matheraum,
es fällt mir schwer die Aufgabenstellung zu verstehen, bzw. zu verstehen was überhaupt verlangt ist.
Muss ich in Aufgabe a) die inverse Matrix von [mm] V=\{ v1= \vektor{1 \\ -5 \\ -3} , v2= \vektor{3 \\ 0 \\ 1} , v3= \vektor{1 \\ 2 \\ -3} \} [/mm] berechnen?
das wäre dann in dem Fall [mm] V^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{35}& \bruch{-1}{7} & \bruch{-3}{35} \\ \bruch{3}{10} & 0 & \bruch{1}{10} \\ \bruch{1}{14} & \bruch{1}{7} & \bruch{-3}{14}}
[/mm]
Wie muss ich weiter vorgehen? Ich bin für jeden Tipp froh.
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Moin,
> Gegeben sei die folgende Basis:
> [mm]V=\{ v1= \vektor{1 \\ -5 \\ -3} , v2= \vektor{3 \\ 0 \\ 1} , v3= \vektor{1 \\ 2 \\ -3} \} \subseteq \IR^{3}[/mm]
>
> Ein Vektor x [mm]\in \IR^{3}[/mm] bezüglich der Basis V kann
> geschrieben werden als Linearkombination der
> Basisvektoren:
> x = [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{3}[/mm] xivi
> Die Basisvektoren der Basis V können als
> Koordinatenachsen eines lokalen Koordinatensystems
> betrachtet werden. Entsprechend kann ein Vektor bezüglich
> der Basis V als Vektor in diesem lokalen Koordinatensystem
> interpretiert werden.
> a) Sei v = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0 }[/mm] ein Vektor bezüglich der
> Basis V. Transformieren Sie v um in einen Vektor w [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> bezüglich der natürlichen Basis [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } \} \subseteq \IR^{3}.[/mm]
>
> b) Finden Sie eine Matrix M, die allgemein einen Vektor v
> [mm]\in \IR^{3}[/mm] bzgl. der Basis V in einen Vektor w [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> bzgl. der natürlichen Basis transfomiert.
>
> c) Prüfen Sie, dass die inverse Matrix [mm]M^{-1}[/mm] Vektoren
> bezüglich der natürlichen Basis in Vektoren bezüglich V
> tranformiert, indem Sie den in Aufgabenteil a) ermittelten
> Vektor zurücktransformieren.
> Hallo Matheraum,
>
> es fällt mir schwer die Aufgabenstellung zu verstehen,
> bzw. zu verstehen was überhaupt verlangt ist.
>
> Muss ich in Aufgabe a) die inverse Matrix von [mm]V=\{ v1= \vektor{1 \\ -5 \\ -3} , v2= \vektor{3 \\ 0 \\ 1} , v3= \vektor{1 \\ 2 \\ -3} \}[/mm]
> berechnen?
Nein, das ist erst in c) gefordert.
Bei a) überlege dir, dass die Matrix, die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis V in Koordinatenvektoren bezüglich der Standardbasis E transformiert die Vektoren der Basis V als Spaltenvektoren haben muss:
[mm] T^V_E=\pmat{1&3&1\\-5&0&2\\-3&1&-3}.
[/mm]
Dann ist [mm] \pmat{1&3&1\\-5&0&2\\-3&1&-3}\vektor{2\\0\\0}=\vektor{2\\-10\\-6}=2\vektor{1\\-5\\-3}=2v_1
[/mm]
>
> das wäre dann in dem Fall [mm]V^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{35}& \bruch{-1}{7} & \bruch{-3}{35} \\ \bruch{3}{10} & 0 & \bruch{1}{10} \\ \bruch{1}{14} & \bruch{1}{7} & \bruch{-3}{14}}[/mm]
Für c) mache mit dieser Matrix die Probe, in dem du den Vektor [mm] \vektor{2\\-10\\-6} [/mm] zurücktransformierst.
>
> Wie muss ich weiter vorgehen? Ich bin für jeden Tipp froh.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Mo 02.05.2011 | | Autor: | diemelli1 |
Moin,
danke für den Anstoß. :)
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Irgendwie ist mir die Aufgabe doch noch nicht so wirklich klar. Wie muss ich in Aufgabe b) vorgehen? Ist in Aufgabe b) einfach nur nach [mm] V^{-1} [/mm] gefragt?
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> Irgendwie ist mir die Aufgabe doch noch nicht so wirklich
> klar. Wie muss ich in Aufgabe b) vorgehen? Ist in Aufgabe
> b) einfach nur nach [mm]V^{-1}[/mm] gefragt?
Hallo,
in Aufgabe b) ist die Matrix gefragt, welche Dir Vektoren, die in Koordinaten bzg. V gegeben sind, in solche bzgl der Standardbasis umwandelt.
Überlege Dir, daß dies die Matrix tut, die in ihren Spalten [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] stehen hat.
Nochmal ein Hinweis zu Aufgabe a)
Es ist [mm] \vektor{2\\0\\0}_{(V)}=2*v_1+0*v_2+0*v_3= [/mm] ...
das sollte man sich unbedingt mal klargemacht haben, bevor man mit Transformationsmatrizen rumwurschtelt.
Gruß v. Angela
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