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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 15.03.2010 | | Autor: | pucki |
| Aufgabe | The 3x3 matrix A has a21=5, a22=-1 and a23=0. The inverse B=A^(-1) exists and has b11=1. Then b21...
a) is equal to 0
b) is equal to 0.2
c) is equal to 5
d) cannot be determined on the basis of the given information. |
Hallo Matheraum,
ich schreib am Donnerstag ein Test darüber und ich habe absolut keine Ahnung was ich damit anfangen soll. Kann mir jemand helfen?
Grüße,
pucki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Rino |
schreib dir am Besten erstmal die Matrix und ihre Inverse auf, soweit das aus den gegebenen Daten möglich ist.
Dann muss gelten:
[mm] $A\cdot [/mm] B=I$
daraus kannst du dann [mm] $b_{21}$ [/mm] berechnen.
Grüße, Rino
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 15.03.2010 | | Autor: | pucki |
das ist mein problem.
Ich weiß nicht wie ich die Inverse Matrix berechnen soll, wenn ich nur eine Zeile gegeben habe ...
was soll ich denn in der 1. und 3. Zeile der Matrix einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Sei [mm] $A\in\IR^{3\times 3}$ [/mm] eine beliebige Matrix mit [mm] $a_{21}=5$, $a_{22}=-1$ [/mm] und [mm] $a_{23}=0$. [/mm] Weiter sei die Matrix $A$ invertierbar mit Inverser [mm] $B:=A^{-1}\in\IR^{3\times 3}$ [/mm] und [mm] $b_{11}=1$. [/mm] Wir haben also die Matrizen
[mm] $A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 5 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} }$, $B:=A^{-1}=\pmat{ 1 & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} }$
[/mm]
Wegen der Invertierbarkeit von $A$ (zur Erinnerung: Sei [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann heißt die (quadratische) Matrix [mm] $C\in\IR^{n\times n}$ [/mm] invertierbar, falls es eine (quadratische) Matrix [mm] $C^{-1}\in\IR^{n\times n}$ [/mm] existiert, so dass [mm] $C\cdot C^{-1}=I=C^{-1}\cdot [/mm] C$, wobei $I$ die [mm] $n\times [/mm] n$-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet) erhalten wir mit der Inversen [mm] $B:=A^{-1}$
[/mm]
[mm] $A\cdot [/mm] B=I$ und [mm] $B\cdot [/mm] A=I$
Nun musst Du $A$ mit $B$ multiplizieren und ausgerechnet werden:
[mm] $A\cdot [/mm] B=$
[mm] $=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 5 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} }\cdot\pmat{ 1 & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} }$
[/mm]
[mm] $=\pmat{ a_{11}+a_{12}b_{21}+a_{12}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\ 5-b_{21} & 5b_{12}-b_{22} & 5b_{13}-b_{23} \\ a_{31}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33} }$
[/mm]
[mm] $\overset{!}{=}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$
[/mm]
$=I$
Nun siehe Dir das Element der "1. Spalte und 2. Zeile" von [mm] $A\cdot [/mm] B$ an, dann steht dort
[mm] $5-b_{21}=0$,
[/mm]
also [mm] $b_{21}=5$.
[/mm]
Gruss
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 15.03.2010 | | Autor: | pucki |
Hey Denny
Wow, danke für die ausführliche Erklärung!!!
Habs verstanden :)
Liebe Grüße,
pucki
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