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| Aufgabe | Um den Ausschussanteil p << 1, eines Fließbandartikels zu schätzen, geht man folgendermaßen vor. Man wählt k fest und untersucht so viele Artikel, bis man k fehlerhafte gefunden hat. Die Anzahl der untersuchten Artikel sei [mm] Y_k.
[/mm]
a.) Geben Sie den Momentenschätzer für p an.
b.) Modifizieren Sie diesen so, dass der neue Schätzer erwartungstreu ist.
c.) Verifizieren Sie, dass der Bias tatsächlich positiv ist und schätzen Sie ihn nach oben ab. |
Zu a.) Es liegt eine negative Binomialverteilung vor (warten auf den k-ten "Erfolg"). Damit lässt sich leicht der Schätzer
[mm] p_k [/mm] = k / [mm] Y_k
[/mm]
finden.
Zu b.) Ich habe versucht zu zeigen, dass dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist:
[mm] E[p_k]=E[k/Y_k]=\summe_{n=k}^{\infty} [/mm] k/n * [mm] P(Y_k=n)=k*p^k\summe_{n=k}^{\infty} 1/n*\vektor{n-1 \\ r-1}*(1-p)^{n-k}
[/mm]
Ich finde allerdings keinen Weg, die auftretende undneliche Reihe entscheidend zu vereinfachen.
c.) fehlt noch ganz.
Bitte um ein paar Hinweise bzw. einen Ansatz. Ich weiß echt nicht mehr weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 06.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> [mm]E[p_k]=E[k/Y_k]=\summe_{n=k}^{\infty}[/mm] k/n *
> [mm]P(Y_k=n)=k*p^k\summe_{n=k}^{\infty} 1/n*\vektor{n-1 \\ r-1}*(1-p)^{n-k}[/mm]
>
Du musst das $r$ durch $k$ ersetzen.
> Ich finde allerdings keinen Weg, die auftretende undneliche
> Reihe entscheidend zu vereinfachen.
>
> c.) fehlt noch ganz.
Dem Niveau der Aufgabe nach zu urteilen hast du es nicht weit bis zu
einer Universitaetsbibliothek. Suche dir mal den Artikel
On a Method of Estimating Frequencies
J. B. S. Haldane
Biometrika, Vol. 33, No. 3 (Nov., 1945), pp. 222-225
heraus. Dort wird auch gezeigt, dass [mm] $(k-1)/(Y_k-1)$ [/mm] e.t. ist.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mi 07.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Danke für die schnelle Antwort. Das r-1 statt k-1 war ein Tippfehler. Ich häng an dieser Stelle trotzdem.
Ich hab mir aber sowieso vorgenommen mich heute so lange in der Uni-Bibliothek einzusperren bis dieses Beispiel gelöst ist. Die entsprechende Zeitschrift haben wir dort, da werd ich gleich mal nachschauen gehn.
Dankeschön!
[edit] P.S.: Hab den Teil b) jetzt auch ohne den Artikel gelöst. Is doch gleich viel einfahcer, wenn man weiß wo man hinmuss! Werds aber trotzdem noch nachlesen gehn.
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| Aufgabe | | c.) Verifizieren Sie, dass der Bias tatsächlich positiv ist und schätzen Sie ihn nach oben ab. |
Teil b.) hab ich inzwischen gelöst. Wenn man weiß, was man eigentlich zeigen will, ist es erschreckenderweise fast ein Einzeiler. (Ich habs blöderweise nur mit [mm] k-1/Y_k [/mm] versucht gehabt).
Zu c.) Das bezieht sich wohl auf den ursprünglichen Schätzer [mm] p_k. [/mm] Der modifizierte hat ja Bias 0 (e.t.).
Ich muss doch jetzt [mm] E[p_k]-p [/mm] abschätzen. Da kommt erneut die Summe
[mm] \summe_{n=k}^{\infty}k/n\vektor{n-1 \\ k-1}p^k(1-p)^{n-k} [/mm] ins Spiel, die ich einfach nicht vereinfachen kann.
Der Trick, den man beim Berechnen des Erwartungswert, der Varianz oder auch bei Beispiel b.) anwenden kann (Bilden eines neuen Binomialkoeffizienten, aus der Summe geschickt herausheben und zeigen, dass die Summe, die übrig bleibt Wert 1 hat) funktioniert hier zumindest nicht ganz so trivial.
Hat jemand eine Idee bzw. finde ich das auch in dem Artikel??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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