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Ich möchte gerne die Inverse der Wronski-Matrix berechnen, jedoch erhalte ich nicht das richtige Ergebnis.
Kann mir einer evtl. helfen?
Habe folgende Matrix gegeben :
W(x)= [mm] \pmat{ x^{5} & x^{3} \\ 5x^{4} & 3x^{2} }
[/mm]
[mm] x_{0}=1
[/mm]
Ich bin folgendermaßen vorgegangen( habe mich an der Übung orientiert):
[mm] W(x_{0})= \pmat{ 1 & 1 \\ 5 & 3 }
[/mm]
Berechne ich die Inverse der Matrix erhalte ich [mm] \pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }
[/mm]
Wenn ich nun diese Matrix mit der Ausgangsmatrix W(x) multipliziere, um diesen später mit [mm] \bruch{1}{det(W(x))} [/mm] zu multiplizieren, erhalte ich falsche Zahlen. Wieso?
Hoffe ich erhalte hier gute Tipps.
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Hallo,
> Ich möchte gerne die Inverse der Wronski-Matrix berechnen,
> jedoch erhalte ich nicht das richtige Ergebnis.
>
> Kann mir einer evtl. helfen?
>
> Habe folgende Matrix gegeben :
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> W(x)= [mm]\pmat{ x^{5} & x^{3} \\ 5x^{4} & 3x^{2} }[/mm]
>
> [mm]x_{0}=1[/mm]
>
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen( habe mich an der
> Übung orientiert):
>
> [mm]W(x_{0})= \pmat{ 1 & 1 \\ 5 & 3 }[/mm]
>
> Berechne ich die Inverse der Matrix erhalte ich [mm]\pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }[/mm]
>
Die Inverse ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich nun diese Matrix mit der Ausgangsmatrix W(x)
> multipliziere, um diesen später mit [mm]\bruch{1}{det(W(x))}[/mm]
> zu multiplizieren, erhalte ich falsche Zahlen. Wieso?
>
> Hoffe ich erhalte hier gute Tipps.
Da müsstest du uns schon ein wenig mehr darüber verraten, was genau du gerechnet hast. Ich vermute mal, es geht um ein DGL-Sytsem?
Gruß, Diophant
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Genau. Zunächst sollten wir für gegebene [mm] {u_{1},u_{1}} [/mm] zeigen, dass diese ein Fundamentalsystem bilden für eine gegebene DGL.
Hier lag auch nicht das Problem. Dies habe ich bereits bewiesen. Nun muss ich das Anfangswertproblem lösen und gegeben war [mm] x_{0}=1 [/mm] und [mm] y_{0}=y_{1}=0
[/mm]
Wie ich nach Berechnung der Inversen vorangegangen bin zeige ich im folgenden :
$ [mm] \pmat{ x^{5} & x^{3} \\ 5x^{4} & 3x^{2} } [/mm] $ * $ [mm] \pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} } [/mm] $
= [mm] \pmat{ -\bruch{3x^{5}}{2} & \bruch{x^{3}}{2} \\ \bruch{25x^{4}}{2} & -\bruch{3x^{2}}{2} } [/mm]
[mm] \Rightarrow W(x)^{-1}= \pmat{ -\bruch{3x^{5}}{2} & \bruch{x^{3}}{2} \\ \bruch{25x^{4}}{2} & -\bruch{3x^{2}}{2} } [/mm] * [mm] \bruch{1}{-2x^{7}}
[/mm]
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Kann es sein, dass ich hier einige Sache durcheinander bringe?
Für die Formel für die Lösung von Anfangswertproblemen benötige ich [mm] W^{-1}(x_{0}=1) [/mm] und [mm] W^{-1}(x) [/mm] und deshalb wäre ich nach der Berechnung der Inversen von [mm] W^{-1}(x_{0}=1) [/mm] fertig und muss nun SEPERAT [mm] W^{-1}(x) [/mm] berechnen kann das sein?
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Hallo alfonso2020,
> Kann es sein, dass ich hier einige Sache durcheinander
> bringe?
>
> Für die Formel für die Lösung von Anfangswertproblemen
> benötige ich [mm]W^{-1}(x_{0}=1)[/mm] und [mm]W^{-1}(x)[/mm] und deshalb
> wäre ich nach der Berechnung der Inversen von
> [mm]W^{-1}(x_{0}=1)[/mm] fertig und muss nun SEPERAT [mm]W^{-1}(x)[/mm]
> berechnen kann das sein?
Poste dazu die genaue Aufgabenstellung.
Für die gegebenen Anfangsbedingungen hat sonst die
homogene DGL nur die triviale Lösung.
Gruss
MathePower
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Hallo alfonso2020,
> Genau. Zunächst sollten wir für gegebene [mm]{u_{1},u_{1}}[/mm]
> zeigen, dass diese ein Fundamentalsystem bilden für eine
> gegebene DGL.
>
> Hier lag auch nicht das Problem. Dies habe ich bereits
> bewiesen. Nun muss ich das Anfangswertproblem lösen und
> gegeben war [mm]x_{0}=1[/mm] und [mm]y_{0}=y_{1}=0[/mm]
>
> Wie ich nach Berechnung der Inversen vorangegangen bin
> zeige ich im folgenden :
>
> [mm]\pmat{ x^{5} & x^{3} \\ 5x^{4} & 3x^{2} }[/mm] * [mm]\pmat{ -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{5}{2} & -\bruch{1}{2} }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ -\bruch{3x^{5}}{2} & \bruch{x^{3}}{2} \\ \bruch{25x^{4}}{2} & -\bruch{3x^{2}}{2} }[/mm]
>
Das Ergebnis der Matrixmultiplikation stimmt nicht.
Offenbar hast Du jeden Eintrag an einer Stelle in der ersteren Matrix
mit dem Eintrag an derselben Stelle der anderen Matrix multipliziert.
> [mm]\Rightarrow W(x)^{-1}= \pmat{ -\bruch{3x^{5}}{2} & \bruch{x^{3}}{2} \\ \bruch{25x^{4}}{2} & -\bruch{3x^{2}}{2} }[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{-2x^{7}}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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