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| Aufgabe | 1a) Bestimmen sie den Rang der Matrix: [mm] \pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & 18 \\ 6 & 18 & -4 & -22 & -6 \\ 4 & 12 & -6 & -8 & 6 \\ 6 & 18 & 6 & -42 & -36 }
[/mm]
b) Sei V := [mm] [/mm] mit [mm] v_{1}=(1,3,4,0,2), v_{2}=(2,5,7,1,0), v_{3}=(-1,2,-3,0,0), v_{4}=(3,8,11,4,0), v_{5}=(3,8,11,1,2)
[/mm]
Bestimmen sie mit Hilfe des Gaußalgorithmus eine Basis von V.
2) Für welche [mm] x\in\IR [/mm] ist die reelle Matrix [mm] A_{x} [/mm] invertierbar? Bestimmen sie für diese x die inverse Matrix [mm] A_{x}^{-1}
[/mm]
[mm] A_{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & x & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1 } [/mm] |
1a) Ich habe mittels Gaußalgorithmus die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & 18 \\ 0 & 9 & 8 & -31 & -60 \\ 0 & 0 & -3\bruch{1}{3} & 6\bruch{2}{3} & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] raus. Demnach müsste der Rang der Matrix gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen, also 3 sein!?
1b) Hier frage ich mich zunächst, wie die Matrix aussehen soll, auf die ich den Gaußalgorithmus anwenden soll. Reicht es, wenn ich die 5 5-Tupel als Spaltenvektoren der Matrix auffasse und quasi nur nebeneinander schreibe, oder muss ich da mehr beachten. Wie dann der Algorithmus funktioniert, weiß ich.
Aber wie bestimme ich die Basis von V? Ich weiß, dass die Menge der von Null verschiedenen Zeilen der Matrix in Zeilenstufenform eine Basis des Zeilenraums R(A) ist. Ist diese Basis dann auch Basis von V?
2) Auch hier habe ich den Gaußalgorithmus angewandt und herausbekommen:
[mm] \pmat{ 1 & x & 0 & 0 \\ 0 & -(x^{2})+1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Daraus schließe ich, dass die Matrix invertierbar ist, wenn x nicht 1 oder -1 ist, weil sonst die 2. Zeile 0 würde. Stimmt das?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> 1a) Bestimmen sie den Rang der Matrix: [mm]\pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & 18 \\ 6 & 18 & -4 & -22 & -6 \\ 4 & 12 & -6 & -8 & 6 \\ 6 & 18 & 6 & -42 & -36 }[/mm]
>
> b) Sei V := [mm][/mm] mit
> [mm]v_{1}=(1,3,4,0,2), v_{2}=(2,5,7,1,0), v_{3}=(-1,2,-3,0,0), v_{4}=(3,8,11,4,0), v_{5}=(3,8,11,1,2)[/mm]
>
> Bestimmen sie mit Hilfe des Gaußalgorithmus eine Basis von
> V.
>
> 2) Für welche [mm]x\in\IR[/mm] ist die reelle Matrix [mm]A_{x}[/mm]
> invertierbar? Bestimmen sie für diese x die inverse Matrix
> [mm]A_{x}^{-1}[/mm]
> [mm]A_{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & x & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1 }[/mm]
>
> 1a) Ich habe mittels Gaußalgorithmus die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 3 & -4 & 3 & 18 \\ 0 & 9 & 8 & -31 & -60 \\ 0 & 0 & -3\bruch{1}{3} & 6\bruch{2}{3} & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> raus. Demnach müsste der Rang der Matrix gleich der Anzahl
> der von Null verschiedenen Zeilen, also 3 sein!?
Hallo,
ich hab' Deinen Gauß nicht nachgerechnet. Wenn die Matrix am Ende so aussieht, ist ihr Rang =3.
Und weil es gerade so schon paßt:
Nun nimmst Du Dir von jeder der Stufen einen Ursprungsvektor, und hast damit eine Basis des v. den Spalten aufgespannten Raumes.
Hier: 1.Vektor, 2.Vektor und einen der letzten drei Vektoren,
also ist z.B. [mm] \vektor{2 \\ 6\\4\\6}, \vektor{3 \\ 18\\124\\18},\vektor{-4 \\ -4\\-6\\6} [/mm] solch eine Basis.
> 1b) Hier frage ich mich zunächst, wie die Matrix aussehen
> soll, auf die ich den Gaußalgorithmus anwenden soll. Reicht
> es, wenn ich die 5 5-Tupel als Spaltenvektoren der Matrix
> auffasse und quasi nur nebeneinander schreibe, oder muss
> ich da mehr beachten. Wie dann der Algorithmus
> funktioniert, weiß ich.
So kannst Du es machen
> Aber wie bestimme ich die Basis von V?
Dies solltest du jetzt anhand des Beispiels oben hinbekommen.
Andere Möglichkeit:
Schreibe die Vektoren als Zeilen in die Matrix, bringe sie in ZSF mit Gauß.
Die Zeilen, die Du erhältst, sind eine Basis des v. [mm] v_1, ...,v_5 [/mm] aufgespannten Raumes.
Ich weiß, dass die
> Menge der von Null verschiedenen Zeilen der Matrix in
> Zeilenstufenform eine Basis des Zeilenraums R(A) ist. Ist
> diese Basis dann auch Basis von V?
>
> 2) Auch hier habe ich den Gaußalgorithmus angewandt und
> herausbekommen:
> [mm]\pmat{ 1 & x & 0 & 0 \\ 0 & -(x^{2})+1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Daraus schließe ich, dass die Matrix invertierbar ist, wenn
> x nicht 1 oder -1 ist, weil sonst die 2. Zeile 0 würde.
> Stimmt das?
Ja.
Du hättest hier auch mit der Determinante arbeiten können, ist hier fast noch schnellerals Gauß - und das Ergebnis dasselbe.
Gruß v. Angela
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Zunächst einmal vielen Dank für die Antwort! Ich habe noch eine Frage zu der Basis aus Aufgabe 1b). Ich habe mit Hilfe der angegebenen Vektoren die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 2 & 8 & 8 \\ 4 & 7 & -3 & 11 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 2 } [/mm] erstellt und dann mit gauß folgende ZSF erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 5 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hieße das, dass ich 4 Stufen habe und z.B. die ersten 4 Vektoren als Basis nehmen könnte (oder alternativ den 5. anstelle des 2.)?
Abermals vielen Dank!
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> Zunächst einmal vielen Dank für die Antwort! Ich habe noch
> eine Frage zu der Basis aus Aufgabe 1b). Ich habe mit Hilfe
> der angegebenen Vektoren die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 2 & 8 & 8 \\ 4 & 7 & -3 & 11 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> erstellt und dann mit gauß folgende ZSF erhalten:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 5 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hieße das, dass ich 4 Stufen habe und z.B. die ersten 4
> Vektoren als Basis nehmen könnte
Ja - von den Vekoren mit denen Du gestartet bist.
(Nachgerechnet habe ich nichts.)
> (oder alternativ den 5.
> anstelle des 2.)?
Nein, das geht nicht, ich war bei meiner Anleitung etwas nachlässig:
Das würde gehen, wenn er in der 4. Zeile, neben der 3, einen von Null verschiedenen Eintrag hätte, also schön auf der "Stufe stünde".
So ist der letzte Vektor aber eigentlich auf der Stufe des 2.Vektors, Du könntest Dich also im Prinzip statt des 2. für diesen entscheiden.
Auf der sicheren Seite bist Du grundsätzlich, wenn Du die Vektoren wählst, die an der Possition stehen, in der sich die führenden Zeilenelemente befinden.
Gruß v. Angela
>
> Abermals vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mi 09.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hey
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> > (oder alternativ den 5.
> > anstelle des 2.)?
>
> Nein, das geht nicht, ich war bei meiner Anleitung etwas
> nachlässig:
>
> Das würde gehen, wenn er in der 4. Zeile, neben der 3,
> einen von Null verschiedenen Eintrag hätte, also schön auf
> der "Stufe stünde".
> So ist der letzte Vektor aber eigentlich auf der Stufe des
> 2.Vektors, Du könntest Dich also im Prinzip statt des 2.
> für diesen entscheiden.
>
Auron wollte doch sowieso den 5. Vektor anstelle des 2. nehmen. Dann waren seine Überlegungen doch richtig oder?
Gruß Patrick
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Ich habe jetzt auch das Gefühl, dass du mir genau das vorgeschlagen hast, was ich bereits geschrieben hatte. Was darf man denn jetzt genau und was nicht? :)
Und ich habe noch eine Frage zu Aufgabe 2:
Ich soll noch sagen wie das Inverse von der gegebenen Matrix aussieht. Oben steht bereits die ZSF, die ich erhalten habe. Wie mache ich daraus zunächst einmal die Einheitsmatrix? Die brauche ich schließlich, um die Inverse berechnen zu können.
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> Ich habe jetzt auch das Gefühl, dass du mir genau das
> vorgeschlagen hast, was ich bereits geschrieben hatte. Was
> darf man denn jetzt genau und was nicht? :)
Hallo,
Du darfst das tun, was Du plantest.
"5. Vektor" war für mich so ein starker Schlüsselreiz, daß ich gar nicht weiter gelesen habe, sondern mein katastrophenverhinderungsprogramm gestartet.
> Und ich habe noch eine Frage zu Aufgabe 2:
>
> Ich soll noch sagen wie das Inverse von der gegebenen
> Matrix aussieht. Oben steht bereits die ZSF, die ich
> erhalten habe.
Wäre schön, wenn Du sie gleich hier hereinkopiert hättest, mir macht das Suchen und Kopieren nämlich auch Mühe.
$ [mm] \pmat{ 1 & x & 0 & 0 \\ 0 & -(x^{2})+1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] $
> Wie mache ich daraus zunächst einmal die
> Einheitsmatrix? Die brauche ich schließlich, um die Inverse
> berechnen zu können.
Du kannst die inverse Matrix auch mit Gauß bestimmen, indem Du wie folgt startest:
[mm] A_x|E_4
[/mm]
Diese Matrix, links die zu invertierende, rechts die Einheitsmatrix bringst Du auf Zeilenstufenform.
Wenn Du links bei Deiner obigen Matrix angekommen bist, brauchst Du doch nur noch die zweite Zeile durch [mm] -x^2+1 [/mm] zu dividieren. (Notiere: [mm] x\not=\pm1)
[/mm]
Dann hast Du in der zweiten Zeile auch bloß noch eine 1.
Danach subtrahierst Du das x-fache der zweiten Zeile von der ersten, fertig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Do 10.01.2008 | | Autor: | Auron2009 |
Vielen Dank für die abschließende Antwort. Mir war nicht bewusst, dass ich die 2. Zeile mit den vielen Nullen einfach so dividieren darf, dass da die 1 bleibt. Das erschien mir irgendwie zu einfach! :D
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