Inverse zum charakt. Polynom < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wenn A € [mm] \IR [/mm] ^2x2 das charakteristische Polynom [mm] x^2-7x-5 [/mm] hat so ist A invertierbar und es gilt A^-1 = [mm] \bruch{1}{5}A [/mm] - [mm] \bruch{7}{5}I2 [/mm]
Als nächstes soll ich zeigen dass wenn [mm] x^2-3x [/mm] charakteristisches polynom von B ist , ist B diagonalisierbar und hat den Rang 1 |
Als erstes hab ich jetzt einfach die nullstelen berrechnet um zu zeigen das A invertierbar ist aber ich weiß jetzt nicht wie ich mit dem chark. Polynom die inverse bestimmen soll geschweige denn die eigenräume bestimmen soll um zu zeigen, dass B diagonalisierbar ist und ich weiß auch nicht wie ich damit den rang bestimmen soll. Weil ich kenne das nur mit den Matrizen selbst und mit den Formeln dann :(
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Hallo ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") girl26,
> Wenn A € [mm]\IR[/mm] ^2x2 das charakteristische Polynom [mm]x^2-7x-5[/mm]
> hat so ist A invertierbar und es gilt A^-1 = [mm]\bruch{1}{5}A[/mm] - [mm]\bruch{7}{5}I2[/mm]
> Als nächstes soll ich zeigen dass wenn [mm]x^2-3x[/mm]
> charakteristisches polynom von B ist , ist B
> diagonalisierbar und hat den Rang 1
>
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>
> Als erstes hab ich jetzt einfach die nullstelen berrechnet
> um zu zeigen das A invertierbar ist aber ich weiß jetzt
> nicht wie ich mit dem chark. Polynom die inverse bestimmen
> soll geschweige denn die eigenräume bestimmen soll um zu
> zeigen, dass B diagonalisierbar ist und ich weiß auch
> nicht wie ich damit den rang bestimmen soll. Weil ich kenne
> das nur mit den Matrizen selbst und mit den Formeln dann :(
Na, nenne deine Matrix [mm]A[/mm] mal [mm]A=\pmat{a&b\\
c&d}[/mm]
Dann ist das charakt. Polynom von [mm]A[/mm] doch
[mm]\operatorname{det}(A-x\cdot{}\mathbb{E}_2)=\operatorname{det}\pmat{a-x&b\\
c&d-x}=(a-x)(d-x)-bc=x^2-(a+d)x+(ad-bc)[/mm].
Und das ist nach Aufgabenstellung [mm]=...[/mm]
Und [mm]A[/mm] ist genau dann invertierbar, wenn [mm]\operatorname{det}(A)\neq 0[/mm] ist.
Wie lautet [mm]\operatorname{det}(A)[/mm] und ist sie [mm]\neq 0[/mm]?
Für die Inverse einer [mm]2\times 2[/mm]-Matrix gibt es eine Formel.
Wie lautet die?
Dann einsetzen ...
Gruß
schachuzipus
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also die formel für die inverse einer matrix lautet [mm] \bruch{1}{det (A)}* \pmat{ d & -b \\ -c & a }. [/mm]
die det(A) ist hier -5 also hab ich als Formel A^-1 = [mm] \bruch{1}{-5}* \pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm]
Durch das charakteristische Polynom weiß ich auch, dass ad-bc= -5 und a+d=7 ist. Aber wie komme ich jetzt an die jeweiligen buchstaben. Es gäb natürlich auch noch die Formel das A*A^-1 = E also hierfür [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] *
[mm] \pmat{ e & f \\ g & h }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und daraus würde ja dann folgen ae+bg=1 ; af+bh=0 ; ce++dg=0 ; cf+dh=1 kann ich damit was anfangen?
Und vllt kann mir jmd sagen was das I bei der Inverse sein soll ist das diese Matrix [mm] \pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm]
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und wie ist das mit dem rang und zeigen, dass sie diagonalisieraber ist?????
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Hallo nochmal,
> und wie ist das mit dem rang und zeigen, dass sie
> diagonalisieraber ist?????
Dass $B$ diagonalisierbar ist, kannst du dem gegebenen charakt. Polynom entnehmen, faktorisiere es mal, dann siehst du, dass es komplett in verschiedene Linearfaktoren zerfällt, alle (beide) mit Vielfachheit (=algebraische VFH) 1.
Die geometrische ist dann ebenfalls =1 (warum?), also hast du Diagonalisierbarkeit.
Der Rest geht mit ganz ähnlichen Überlegungen, nenne [mm] $B=\pmat{a&b\\c&d}$, [/mm] schreibe das char. Polynom hin (wie oben) und vgl. mit dem gegebenen char. Polynom.
Dann bringe $B$ in Zeilenstufenform ...
Gruß
schachuzipus
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also ich jetzt faktorisiert und gezeigt, das die alg. VFH =1 ist reicht es jezt zu sagen, dass die geom. VFH auch 1 sein muss, da sie nicht größer als die alg. VFH per Definition sein kann?
Für den Rang hab ich jetzt raus , dass a+d = 3 und ad-bc= 0 [mm] \gdw [/mm] ad=bc [mm] \gdw \bruch{a}{c} [/mm] = [mm] \bruch{b}{d} [/mm] das würde ja für meine Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] das wenn ich die erste zeile mit einem wert n multiplizier und die zeilen dann addiere unten eine nullzeile rauskommt. und daraus folgt dann r=1 oder?
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> also ich jetzt faktorisiert und gezeigt, das die alg. VFH
> =1 ist reicht es jezt zu sagen, dass die geom. VFH auch 1
> sein muss, da sie nicht größer als die alg. VFH per
> Definition sein kann?
Hallo,
dann müßtest Du noch ausdrücklich sagen, daß die Matrix somit diagonalisierbar ist.
>
> Für den Rang hab ich jetzt raus , dass a+d = 3 und ad-bc=
> 0
Dieses abcd-Gedöns für den Rang ist umständlich.
Du weißt doch aufgrund des charakteristischen Polynoms, daß die Matrix diagonalisierbar ist und die Eigenwerte 0 und 3 hat.
Da ähnlich Matrizen den gleichen Rang haben, kennst Du jetzt den Rang von B.
Gruß v. Angela
[mm]\gdw[/mm] ad=bc [mm]\gdw \bruch{a}{c}[/mm] = [mm]\bruch{b}{d}[/mm] das würde ja
> für meine Matrix [mm]\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm] das wenn ich die
> erste zeile mit einem wert n multiplizier und die zeilen
> dann addiere unten eine nullzeile rauskommt. und daraus
> folgt dann r=1 oder?
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vielen dank jetzt hab ichs stand total aufm schlauch ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Zum ersten Teil der Aufgabe:
Mit dem Satz von Cayley - Hamilton ergibt sich:
[mm] $A^2-7A-5I_2=0$
[/mm]
Multipliziert man diese Gl. mit [mm] A^{-1}, [/mm] so bekommt man
[mm] $A-7I_2-5A^{-1}=0$.
[/mm]
Jetzt nach [mm] A^{-1} [/mm] auflösen.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Zum 2. Teil:
Wenn $ [mm] x^2-3x [/mm] $ das charakteristisches polynom von B ist, so folgt aus dem Satz von Cayley-Hamilton , dass
[mm] B(B-3I_2)=0
[/mm]
ist. Somit gilt:
[mm] $\IR^2= [/mm] Kern(B) [mm] \oplus Kern(B-3I_2)$
[/mm]
Dann ist dim Kern(B)= dim [mm] Kern(B-3I_2)=1. [/mm] Mit der Dimensionsformel folgt: Rang(B)=1.
Ist [mm] b_1 \in [/mm] Kern(B) und [mm] b_2 \in Kern(B-3I_2) [/mm] und ist [mm] b_1 \ne [/mm] 0 [mm] \ne b_2, [/mm] so ist [mm] \{b_1,b_2 \} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] aus Eigenvektoren.
FRED
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
