Inverses Poly in Q[x]/<x^3-1> < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 02.02.2009 | | Autor: | okozo |
| Aufgabe | f = [mm] x^2 [/mm] + 1
R = Q[x] / [mm]
Prüfen Sie, ob das gegebene Element f ein multiplikatives Inverses in dem jeweiligen Ring R hat und bestimmen Sie dieses gegebenenfalls. |
Kann ich hier einfach sagen:
[f besitzt keine Nullstelle in Q] und [deg(f) = 2]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist irreduzibel in Q[x]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist keine Einheit in Q[x]
[mm] \Rightarrow [/mm] f besitzt kein multiplikatives Inverses in Q[x]
[mm] \Rightarrow [/mm] f besitzt kein multiplikatives Inverses in Q[x] / [mm]
?
Oder geht das schief wegen modulo?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 02.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> f = [mm]x^2[/mm] + 1
> R = Q[x] / [mm]
...
> [mm]\Rightarrow[/mm] f besitzt kein multiplikatives Inverses in
> Q[x]
Bis hier her richtig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f besitzt kein multiplikatives Inverses in
> Q[x] / [mm]
Warum sollte das stimmen? Es stimmt hier auch nicht, btw.
> ?
> Oder geht das schief wegen modulo?
Quasi ja - wie sieht denn er "Modulo-Raum" genau aus? Was bedeutet es in ihm, ein Inverses zu haben? Was ist denn eine Basis dieses Raumes? Hast du nun Ideen?
SEcki
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Wie berechne ich denn jetzt dieses Inverse zu [mm] x^{2}+1?
[/mm]
Müsste doch per Polynomdivision gehen, oder?
[mm] \bruch{1}{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{3}}{x^{2}+1}
[/mm]
Das führt aber bei mir irgendwie zu nix...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Di 10.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wie berechne ich denn jetzt dieses Inverse zu [mm]x^{2}+1?[/mm]
>
> Müsste doch per Polynomdivision gehen, oder?
Hm, eher nicht.
Der Modulraum wird von den "Elementen" [m]1,x,x^2[/m] erzeugt. Setze also an [m](x^2+1)*(a*x^2+b*x+1)=1[/m] und nutze [m]x^3=1[/m] aus- Alternativ kann man mit Division mit Rest Polynome f, g bestimmen mit [m]f*(x^3-1)+g*(x^2+1)=1[/m] - dann ist die Projektion von f das Inverse.
SEcki
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