Invertierbar <> Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 06.05.2008 | | Autor: | lauser |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum A [mm] \in End_K(V) [/mm] mit Minimalpolynom [mm] m_A.
[/mm]
Zeige: Ist [mm] m_A(0) \neq [/mm] 0, so existiert ein g [mm] \in [/mm] K[x] sodass gilt:
[mm] A^{-1} [/mm] = g(A).
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Hallo liebe Vorhelfer,
ich hab bei der obigen, wohl relativ kleinen Aufgabe, ein Problem.
Also meine Gedanken sind ein wenig unsortiert. Ich habe einen Satz, der besagt, dass A [mm] \in End_K(V) [/mm] endlichdimensional, und es ist gleichwertig:
a) A ist diagonalisierbar
b) [mm] m_A [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}{(x-a_i)} [/mm] mit paarweise verschiedenen [mm] a_i \in [/mm] K,
Aus der Voraussetzung weiß ich:
Die Bedingung [mm] m_A(0) \neq [/mm] 0 besagt doch, dass insbesondere 0 kein Eigenwert ist, d.h. x [mm] \not| m_A [/mm] .
Damit weiß ich, wenn ich A diagonalisiere, dass kein 0 auf einer Diagonale steht. Die Determinate von A ist damit [mm] \neq [/mm] 0, das heißt A ist invertierbar, also existiert [mm] A^{-1}.
[/mm]
Jetzt muss ich das noch mit der Existenz eines Polynomes g von der Form hinbekommen.... oder was meint Ihr zu den bisherigen Gedanken?
Grüße und dank für die Hilfe
Lauser
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum im Internet gestellt.
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> Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum A [mm]\in End_K(V)[/mm]
> mit Minimalpolynom [mm]m_A.[/mm]
>
> Zeige: Ist [mm]m_A(0) \neq[/mm] 0, so existiert ein g [mm]\in[/mm] K[x]
> sodass gilt:
> [mm]A^{-1}[/mm] = g(A).
>
> Hallo liebe Vorhelfer,
>
> ich hab bei der obigen, wohl relativ kleinen Aufgabe, ein
> Problem.
>
> Also meine Gedanken sind ein wenig unsortiert. Ich habe
> einen Satz, der besagt, dass A [mm]\in End_K(V)[/mm]
> endlichdimensional, und es ist gleichwertig:
>
> a) A ist diagonalisierbar
> b) [mm]m_A[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n}{(x-a_i)}[/mm] mit paarweise
> verschiedenen [mm]a_i \in[/mm] K,
Hallo,
das brauchst Du jedoch nicht, es ist ja überhaupt nichts darüber gesagt, das die Matrix diagonalisierbar sein soll.
>
> Aus der Voraussetzung weiß ich:
>
> Die Bedingung [mm]m_A(0) \neq[/mm] 0 besagt doch, dass insbesondere
> 0 kein Eigenwert ist, d.h. x [mm]\not| m_A[/mm] .
Aha! Das ist ein wichtiger Gedanke.
Das Minimalplolynom hat also die Gestalt [mm] m_A(x)=x^k [/mm] + [mm] a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1x [/mm] + [mm] a_0 [/mm] mit [mm] a_0\not=0.
[/mm]
Nun noch ein Tip:
Du suchst ja ein g mit
> $ [mm] A^{-1} [/mm] $ = g(A).
<==> E=A*g(A)
<==> 0=Ag(A)-E.
Nun überleg mal, ob Du das Minimalpolynom passend zurechtbiegen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Do 08.05.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Angela,
danke für den Hinweis...ich weiß nun nicht, ob ich die Gedanken so richtig weiterverfolge.
Das Minimalpolynom sieht aus wie folgt:
[mm] m_A(x)=x^k [/mm] + [mm] a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1x [/mm] + [mm] a_0 [/mm] mit [mm] a_0\not=0
[/mm]
Ich kann das auch umschreiben:
A := [mm] \pmat{ 0 & & & & a_0 \\1 & \ddots & & & a_1 \\ & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & a_{n-2} \\ & & & 1 & a_{n-1}} [/mm]
Wenn hier [mm] a_0 [/mm] = 0 wäre, dann wäre der Rang der Matrix nicht mehr voll und das Ding wäre nicht invertierbar.
Dann ist [mm] m_A(x) [/mm] = det(xE - A) = [mm] det(\pmat{ x & & & & -a_0 \\-1 & \ddots & & & -a_1 \\ & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & x & -a_{n-2} \\ & & & -1 & a_{n-1}})
[/mm]
Gut, aber ich seh gerade, damit komme ich wohl nicht weiter; das A ist eine Matrix, die dieses Polynom mehr oder minder beinhält. Ich dachte nun, dass ich über die Matrix ein Inverses finde... aber das hilft ja nicht.
Zu deinem Ansatz muss ich sagen, dass ich ihn nicht ganz verstanden habe. Du schreibst quasi das Ergebnis um, also ist das eine Art indirekter Beweis.
Also nehme ich an, [mm] m_A(0) [/mm] = 0 und angenommen ein Inverses existiert. Dann gilt:
$ [mm] A^{-1} [/mm] $ = g(A).
<==> E=A*g(A)
<==> 0=Ag(A)-E.
Das hier ist doch dann die Nullmatrix, und nicht die einfache Null? Ich muss hier wohl das Minimalpolynom irgendwie reinbekommen, oder muss ich davon erkennen können, wie das Minimalpolynom aussehen muss -- nämlich das [mm] m_A(0) \neq [/mm] 0 und damit [mm] a_0 \neq [/mm] 0 ?
Grüße und dank
Lauser
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> Das Minimalpolynom sieht aus wie folgt:
> [mm]m_A(x)=x^k[/mm] + [mm]a_{k-1}x^{k-1}+...+a_1x[/mm] + [mm]a_0[/mm] mit [mm]a_0\not=0[/mm]
>
> Ich kann das auch umschreiben:
>
> A := [mm]\pmat{ 0 & & & & a_0 \\1 & \ddots & & & a_1 \\ & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & a_{n-2} \\ & & & 1 & a_{n-1}}[/mm]
Hallo,
nein, so kannst Du das nicht machen: die Matrix A mit ihrem Minimalpolynom [mm] m_A [/mm] gehört ja zu Deinen Voraussetzungen, die kannst Du Dir nicht nach Lust und Laune aussuchen.
Es steht nirgends, daß die Matrix A gerade die Begleitmatix ihres charakteristischen Polynoms sein soll.
> Zu deinem Ansatz muss ich sagen, dass ich ihn nicht ganz
> verstanden habe. Du schreibst quasi das Ergebnis um, also
> ist das eine Art indirekter Beweis.
Bewiesen habe ich ja noch überhaupt nichts. Ich habe die Aussage, die zu beweisen ist, in eine äquivalente umgewandelt, in der Hoffnung, damit mit dem Zaunpfahl zu winken.
>
> Also nehme ich an, [mm]m_A(0)[/mm] = 0 und angenommen ein Inverses
> existiert. Dann gilt:
>
> [mm]A^{-1}[/mm] = g(A).
>
> <==> E=A*g(A)
>
> <==> 0=Ag(A)-E.
>
> Das hier ist doch dann die Nullmatrix, und nicht die
> einfache Null?
Ja. Ich habe in das gesuchte Polynom ja eine Matrix eingesetzt, und damit muß das Ergebnis der Bemühungen von oben auch eine matrix sein.
> Ich muss hier wohl das Minimalpolynom
> irgendwie reinbekommen, oder muss ich davon erkennen
> können, wie das Minimalpolynom aussehen muss
Du hast doch selbst schon gesagt, daß 0 kein Eigenwert von A ist, und daher kommt es ja, daß [mm] a_0 [/mm] im Minimalpolynom [mm] \not=0 [/mm] ist.
Ist Dir eigentlich klar, daß, wenn man eine Matrix in ihr Minimalpolynom einsetzt, die Nullmatrix herauskommt? (Satz v. Hamilton-Cayley)
Du weißt also
[mm] 0=m_A(A)=A^k [/mm] + [mm]a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1x[/mm] + [mm]a_0*E[/mm].
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 09.05.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Angela,
der Satz von Cayley Hamiltion ist mir bekannt. Daher die Frage zwecks der Nullmatrix; wenn ich das richtig verstehe ist dann:
Ag(A)-E = 0 [mm] =m_A(A)=A^k [/mm] + [mm]a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1x[/mm] + [mm]a_0*E[/mm].
damit ist:
Ag(A) = 0 = [mm] A^k [/mm] + [mm]a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1x[/mm] + [mm]a_0*E + E [/mm].
Also
A g(A) = m(A) + E
Und dass kann doch nur gelten, wenn g(A) = [mm] A^{-1} m_A(A) [/mm] + [mm] A^{-1}
[/mm]
Oder bin ich da wieder auf nem Holzweg?
Mm ne.., da stimmt irgendwas nicht, ich bin wohl auf dem Holzweg, denn damit drehe ich mich ja nur im Kreis wenn ich mir das genauer anschaue.
Grüße und dank
Lauser
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> Hallo Angela,
>
> der Satz von Cayley Hamiltion ist mir bekannt. Daher die
> Frage zwecks der Nullmatrix; wenn ich das richtig verstehe
> ist dann:
>
> Ag(A)-E = 0 [mm]=m_A(A)=A^k[/mm] + [mm]a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1x[/mm] + [mm]a_0*E[/mm].
Hallo,
das Einsetzen von A ins Minimalpolynom ergibt doch:
[mm] 0=A^k [/mm] + [mm]a_{k-1}A^{k-1}+...+a_1A^1[/mm] + [mm]a_0*E[/mm]
[mm] =[A^k [/mm] + [mm]a_{k-1}A^{k-1}+...+a_1A^1[/mm]]+a_0E.
Klammer doch aus der eckigen Klammer mal A aus.
Überlege Dir dann, was Du mit der Gleichung machen mußt, um "hinten" -E zu erhalten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Sa 10.05.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo Angela,
ich nehme mal an, hier muss ich das [mm] a_0 \neq [/mm] 0 verwenden; d.h. irgendwo muss das im Nenner stehen, damit man das voll und ganz ausschöpfen kann.
$Ag(A)-E = 0 [mm] =m_A(A)=A^k [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1 [/mm] + [mm] a_0*E [/mm] $
[mm] $0=A^k [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-1}+...+a_1A^1 [/mm] + [mm] a_0$
[/mm]
[mm] $=[A^k [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-1}+...+a_1A^1]+a_0 [/mm] E$
$=A [mm] [A^{k-1} [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 [/mm] E] [mm] +a_0 [/mm] E$
$= [mm] -a_0 [/mm] (- [mm] \frac{1}{a_0} [/mm] A [mm] [A^{k-1} [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 [/mm] E] - E )$
Jetzt hab ich hinten ein -E, aber ein [mm] -a_0 [/mm] davor?
Meintest du sowas?
Grüße
Lauser
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> [mm]Ag(A)-E = 0 =m_A(A)=A^k + a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1 + a_0*E[/mm]
>
>
> [mm]0=A^k + a_{k-1}A^{k-1}+...+a_1A^1 + a_0[/mm]
>
> [mm]=[A^k + a_{k-1}A^{k-1}+...+a_1A^1]+a_0 E[/mm]
>
> [mm]=A [A^{k-1} + a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 E] +a_0 E[/mm]
>
> [mm]= -a_0 (- \frac{1}{a_0} A [A^{k-1} + a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 E] - E )[/mm]
>
> Jetzt hab ich hinten ein -E, aber ein [mm]-a_0[/mm] davor?
>
> Meintest du sowas?
Hallo,
haargenau sowas meinte ich. (Ich würde statt [mm] \frac{1}{a_0} [/mm] lieber [mm] (a_0)^{-1} [/mm] schreiben, es sei denn, es ist bei Euch üblich, auch im Körper K [mm] \frac{1}{a_0} [/mm] zu verwenden.)
Du hast nun 0=[mm]= -a_0 (- \frac{1}{a_0} A [A^{k-1} + a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 E] - E )[/mm]
Das [mm] -a_0 [/mm] bekommst Du doch leicht weg, indem passend multiplizierst. Wenn Du dann noch Dein - [mm] \frac{1}{a_0} [/mm] in die eckige Klammer schiebst, bist Du sehr weit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 12.05.2008 | | Autor: | lauser |
Hallo angela,
jetzt hab ich erstmal das sonnige Wochenende genossen und mir glatt doch einen Sonnenbrand geholt! Na super, hätte ich doch lieber Mathe gemacht.
Wir hatten ja:
[mm]Ag(A)-E = 0 =m_A(A)=A^k + a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1 + a_0*E[/mm]
Damit war (ps. du hast recht, wir schreiben i.d.R. auch [mm] a_0^{-1}
[/mm]
$0 = [mm] -a_0 [/mm] (- [mm] a_0^{-1} [/mm] A [mm] [A^{k-1} [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 [/mm] E] - E )$ (*)
<=>$ 0 = A [- [mm] a_0^{-1} A^{k-1} [/mm] - [mm] a_0^{-1} a_{k-1}A^{k-2}-...- a_0^{-1} a_1 [/mm] E] - E $
d.h. $ g(A) = - [mm] a_0^{-1} A^{k-1} [/mm] - [mm] a_0^{-1} a_{k-1}A^{k-2}-...- a_0^{-1} a_1 [/mm] E$
Aber mir ist das wiederum nicht koscher, denn durch das multiplizieren von (*) mit [mm] -a_0^{-1} [/mm] verschlucke ich doch eigentlich das Minus.
Und ansonsten passen doch die Koeffizienten noch nicht, denn wenn ich das Einsetze, dann bekomme ich:
$Ag(A)-E = [mm] -a_0^{-1} A^{k} [/mm] - [mm] a_0^{-1} a_{k-1}A^{k-1}-...- a_0^{-1} a_1 [/mm] A - E$
Damit das gleich $ 0 = [mm] m_A(A)=A^k [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1 [/mm] + [mm] a_0*E [/mm] $ ist, muss [mm] a_0 [/mm] = -1 und irgendwie komm ich mir vor, wie als würde ich mich im Kreis drehen...
Grüße und dank
Lauser!
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> jetzt hab ich erstmal das sonnige Wochenende genossen und
> mir glatt doch einen Sonnenbrand geholt!
Hallo,
ich hab' auch einen...
> Wir hatten ja:
>
> [mm]Ag(A)-E = 0 =m_A(A)=A^k + a_{k-1}A^{k-1}+...+A_1 + a_0*E[/mm]
Das ist so, wie es hier steht, nicht richtig. Das Polynom g haben wir ja noch gar nicht. Das wollen wir erst finden.
Es hat auch kein Mensch behauptet, daß xg(x)-1 das Minimalpolynom sein wird/soll. Wir kommen der Sache lediglich mithilfe des Minimalpolynoms auf die Spur.
>
> Damit war (ps. du hast recht, wir schreiben i.d.R. auch
> [mm]a_0^{-1}[/mm]
>
> [mm]0 = -a_0 (- a_0^{-1} A [A^{k-1} + a_{k-1}A^{k-2}+...+a_1 E] - E )[/mm]
> (*)
>
> <=>[mm] 0 = A [- a_0^{-1} A^{k-1} - a_0^{-1} a_{k-1}A^{k-2}-...- a_0^{-1} a_1 E] - E[/mm]
So. Nun kannst Du definieren: g(x):= - [mm] a_0^{-1} x^{k-1} [/mm] - [mm] a_0^{-1} a_{k-1}x^{k-2}-...- a_0^{-1} a_1 [/mm] .
Dieses Polynom tut genau das, was es soll, denn es ist
Ag(A)-E=0
==> E=Ag(A),
also ist g(A) die inverse Matrix zu A, dh. [mm] g(A)=A^{-1}.
[/mm]
> Aber mir ist das wiederum nicht koscher, denn durch das
> multiplizieren von (*) mit [mm]-a_0^{-1}[/mm] verschlucke ich doch
> eigentlich das Minus.
???
>
> Und ansonsten passen doch die Koeffizienten noch nicht,
> denn wenn ich das Einsetze, dann bekomme ich:
>
> [mm]Ag(A)-E = -a_0^{-1} A^{k} - a_0^{-1} a_{k-1}A^{k-1}-...- a_0^{-1} a_1 A - E[/mm]
[mm] =-a_0^{-1} (A^{k} [/mm] + [mm] a_{k-1}A^{k-1}+...-+a_1 [/mm] A + [mm] a_0E)=-a_0^{-1}m_A(A)=0.
[/mm]
Es ist doch alles in bester Ordnung.
Du solltest nun mal ganz in Ruhe versuchen, den kompletten Gedankengang von A-Z nochmal zu durchdenken.
Letztendlich haben wir nichts anderes gemacht, als das Minimalpolynom mit [mm] -a_0^{-1} [/mm] zu multiplizieren, vorne x auszuklammern und das Polynom in der Klammer g zu taufen.
Gruß v. Angela
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