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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 So 20.05.2007 | | Autor: | butumba |
Hallöchen.
Habe mal folgende Frage:
In welchem Restklassenkörper Zp ist die Matrix A= (1 2 3)
(2 -1 -2)
(-1 1 3)
invertierbar? Dabei steht das p für Primzahlen und das Z für die die ganzen Zahlen steht. Ich weiß nicht so recht, was ich da machen muss.
desweiteren soll ich den Kern bestimmen für alle Restklassenkörper. Der ist bei mir 0, da ich gerechnet habe: dim ker(A)=3-rang(A)
Müsste doch stimmen, oder?
Und wie kann ich die Invertierbare berechnern für Z7?
Ich würde mich über eine Hilfe freuen  Lg
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Hi butumba!
> Habe mal folgende Frage:
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> In welchem Restklassenkörper Zp ist die Matrix A= (1 2 3)
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> (2 -1 -2)
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> (-1 1 3)
> invertierbar? Dabei steht das p für Primzahlen und das Z
> für die die ganzen Zahlen steht. Ich weiß nicht so recht,
> was ich da machen muss.
Berechne die Determinante der Matrix und schau, für welche p sie kongruent zu 0 (modulo p) ist. Am besten machst Du eine Primzahlzerlegung der Determinante. Ist det(A) = 0, so ist die Matrix nicht invertierbar.
> desweiteren soll ich den Kern bestimmen für alle
> Restklassenkörper. Der ist bei mir 0, da ich gerechnet
> habe: dim ker(A)=3-rang(A)
> Müsste doch stimmen, oder?
Woher weißt Du, daß rang(A) = 3 ist? Das hängt sehr vom zugrunde liegenden Restklassenkörper ab.
Zur Bestimmung des Kerns mußt Du das Gleichungssystem Ax = 0 lösen, also alle x bestimmen, die durch A auf 0 abgebildet werden.
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> Und wie kann ich die Invertierbare berechnern für Z7?
Üblicherweise erweitert man die Matrix A um die Einheitsmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und führt damit den Gauß-Algorithmus aus, d.h. man überführt A in die Einheitsmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & 1 & 0 & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 1 & ... & ... & ... }
[/mm]
Die inverse Matrix zu A besteht dann aus den letzten drei Spalten der Matrix.
LG
Karsten
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