Invertierbare Matrix (Jordan) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 } \in \IR^{4,4} [/mm] gegeben.
Zeigen Sie, dass A und B ähnlich sind und bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S, sodass [mm] A=S^{-1}BS [/mm] ist.
Hinweis: A und B sind beide nilpotent mit Index 4. |
Nun zu meiner Lösung:
Da A und B beide nilpotent mit Index 4 sind, weiß ich aus der Vorlesung, dass es eine invertierbare Matrix U und eine invertierbare Matrix T gibt, sodass [mm] U^{-1}AU=J_{4} [/mm] und [mm] T^{-1}BT=J_{4} [/mm] gilt, wobei [mm] J_{4}= \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }. [/mm] Damit kann ich beide Gleichungen gleichsetzen und erhalte die invertierbare Matrix S = [mm] TU^{-1}. [/mm]
Nun möchte ich gerne zunächst U bestimmen. Dazu weiß ich wieder aus der Vorlesung, dass die Spalten von U eine Jordan-Kette von A zum Eigenwert 0 der Länge 4 bilden.
Ich habe mir also einen Vektor [mm] u_{1} [/mm] so gewählt, dass [mm] Au_{1}=0 [/mm] gilt (nach Definition der Jordan-Kette). Sei also [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}. [/mm] Mit der Gleichung [mm] u_{1}=Au_{2}=A^{2}u_{3}=A^{3}u_{4} [/mm] habe ich nacheinander die Vektoren [mm] u_{2}, u_{3} [/mm] und [mm] u_{4} [/mm] bestimmt und [mm] u_{2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, u_{3}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] u_{4}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] als eine Möglichkeit erhalten.
Damit ist dann [mm] U=\pmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] und [mm] U^{-1}=\pmat{ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 }. [/mm]
Nun erhalte ich jedoch [mm] U^{-1}AU=\pmat{ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\not=J_{4}.
[/mm]
Was mache ich da falsch?
Viele Grüße
Edit: Ich habe meinen Fehler bzw. den richtigen Weg gefunden. Ich habe mir einen Vektor [mm] u_{4} [/mm] aus dem Kern von [mm] A^{4} [/mm] genommen, der nicht im Kern von [mm] A^{3} [/mm] enthalten ist und dann damit die Jordankette gebildet.
|
|
| |
|
Hallo qwertz235,
> Seien
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 }[/mm]
> und [mm]B=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 } \in \IR^{4,4}[/mm]
> gegeben.
> Zeigen Sie, dass A und B ähnlich sind und bestimmen Sie
> eine invertierbare Matrix S, sodass [mm]A=S^{-1}BS[/mm] ist.
> Hinweis: A und B sind beide nilpotent mit Index 4.
>
> Nun zu meiner Lösung:
> Da A und B beide nilpotent mit Index 4 sind, weiß ich aus
> der Vorlesung, dass es eine invertierbare Matrix U und eine
> invertierbare Matrix T gibt, sodass [mm]U^{-1}AU=J_{4}[/mm] und
> [mm]T^{-1}BT=J_{4}[/mm] gilt, wobei [mm]J_{4}= \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.[/mm]
> Damit kann ich beide Gleichungen gleichsetzen und erhalte
> die invertierbare Matrix S = [mm]TU^{-1}.[/mm]
> Nun möchte ich gerne zunächst U bestimmen. Dazu weiß ich
> wieder aus der Vorlesung, dass die Spalten von U eine
> Jordan-Kette von A zum Eigenwert 0 der Länge 4 bilden.
> Ich habe mir also einen Vektor [mm]u_{1}[/mm] so gewählt, dass
> [mm]Au_{1}=0[/mm] gilt (nach Definition der Jordan-Kette). Sei also
> [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}.[/mm] Mit der Gleichung
> [mm]u_{1}=Au_{2}=A^{2}u_{3}=A^{3}u_{4}[/mm] habe ich nacheinander
> die Vektoren [mm]u_{2}, u_{3}[/mm] und [mm]u_{4}[/mm] bestimmt und
> [mm]u_{2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, u_{3}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> und [mm]u_{4}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] als eine Möglichkeit
> erhalten.
> Damit ist dann [mm]U=\pmat{ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
> und [mm]U^{-1}=\pmat{ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 }.[/mm]
> Nun erhalte ich jedoch [mm]U^{-1}AU=\pmat{ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\not=J_{4}.[/mm]
>
> Was mache ich da falsch?
>
Die Vektoren [mm]u_{3}[/mm] und [mm]u_{4}[/mm] stimmen nicht.
> Viele Grüße
>
> Edit: Ich habe meinen Fehler bzw. den richtigen Weg
> gefunden. Ich habe mir einen Vektor [mm]u_{4}[/mm] aus dem Kern von
> [mm]A^{4}[/mm] genommen, der nicht im Kern von [mm]A^{3}[/mm] enthalten ist
> und dann damit die Jordankette gebildet.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
