Invertierbare Matrix finden < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Sa 05.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei [mm] A:=\pmat{ 0 & \bruch{3}{2}& \bruch{1}{2}\\ 1 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2}\\ -1 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2}}
[/mm]
(a) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A und alle zugehörigen Eigenvektoren.
(b) Zeigen Sie, dass A nicht diagonalisierbar ist.
(c) Finden Sie eine invertierbare Matrix S [mm] \in GL_{3}(\IR), [/mm] so dass:
[mm] S^{-1}*A*S=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & b_{11} & b_{12}\\ 0 & b_{21} & b_{22}} [/mm] mit einer Matrix [mm] B=(b_{ij}) \in M_{2,2}(\IR) [/mm] |
Hallo,
Aufgabenteil a) und b) sind gar kein Problem.
Nur bei Aufgabenteil c) hänge ich zur Zeit irgendwie.
Ich hatte schon gedacht, dass die Matrix B aus den zwei Eigenwerten als Diagonaleinträge bestehen könnte.
Aber wie bestimme ich die Matrix S?
Zur Info: Die Eigenwerte lauten 1 und -1, wobei -1 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Wäre über einen Tipp dankbar!
Grüße kiri
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> Sei [mm]A:=\pmat{ 0 & \bruch{3}{2}& \bruch{1}{2}\\ 1 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2}\\ -1 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> (a) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A und alle
> zugehörigen Eigenvektoren.
> (b) Zeigen Sie, dass A nicht diagonalisierbar ist.
> (c) Finden Sie eine invertierbare Matrix S [mm]\in GL_{3}(\IR),[/mm]
> so dass:
> [mm]S^{-1}*A*S=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & b_{11} & b_{12}\\ 0 & b_{21} & b_{22}}[/mm]
> mit einer Matrix [mm]B=(b_{ij}) \in M_{2,2}(\IR)[/mm]
> Hallo,
> Aufgabenteil a) und b) sind gar kein Problem.
> Nur bei Aufgabenteil c) hänge ich zur Zeit irgendwie.
> Ich hatte schon gedacht, dass die Matrix B aus den zwei
> Eigenwerten als Diagonaleinträge bestehen könnte.
> Aber wie bestimme ich die Matrix S?
Hallo,
ich will versuchen, Dir eine Wink in die richtige Richtung zu geben.
Die Matrix S ist eine Basistransformationsmatrix.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & b_{11} & b_{12}\\ 0 & b_{21} & b_{22}} [/mm] soll also die Abbildung, deren darstellende Matrix A bzgl der Standardbasis ist, bzg. einer anderen Basis C:=( [mm] c_1,c_2, c_3) [/mm] angeben.
Diese andere Basis ist so beschaffen, daß der erste Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
Das legt einem die Idee nahe, hier die Eigenvektor zu 1 zu nehmen, oder?
Dann entnimmt man der Matrix B noch, daß der von [mm] c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] aufgespannte Raum invariant ist, denn [mm] c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] werden jeweils auf eine Linearkombination v. [mm] c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] abgebildet.
Mehr sag' ich da jetzt erstmal nicht. Denk ein bißchen, spiel ein bißchen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 05.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
erstmal danke für die Antwort!
Also ich habe jetzt mal versucht in die Spalten der Matrix S die Eigenvektoren einzusetzen. Das Problem ist nur, dass ich nur zwei Eigenvektoren habe und wenn ich ein Vielfaches eines anderen nehme, dann habe ich ja zwei identische Spalten, folglich ist die Determinante der Matrix 0 und die Matrix somit nicht mehr invertierbar....
Grüße kiri
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> Also ich habe jetzt mal versucht in die Spalten der Matrix
> S die Eigenvektoren einzusetzen. Das Problem ist nur, dass
> ich nur zwei Eigenvektoren habe und wenn ich ein Vielfaches
> eines anderen nehme, dann habe ich
... keine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
Ich weiß ja nun nicht, was Ihr so alles hattet, fündig wirst Du bei der Primärzerlegung.
Als ersten Vektor nimm den Eigenvektor zu 1,
als zweiten den Eigenvektor zu -1,
diesen ergänze durch einen dritten Vektor zu einer Basis v. [mm] Kern(A-(-1)*E)^2=Kern(A+E)^2
[/mm]
So solltest Du dann hinkommen.
Ansonsten müßtest Du einen dritten Vektor ja auch bestimmen können, indem Du sagst
[mm] Ab_3=r*b_2+s*b_3, [/mm] und dies dann löst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 05.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
in der letzten Gleichung sind [mm] b_{2} [/mm] und [mm] b_{3} [/mm] die Eigenvektoren oder die Einträge in der Matrix??
Dankeschön für deine Mühe!
Grüße kiri
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> Hallo,
> in der letzten Gleichung sind [mm]b_{2}[/mm] und [mm]b_{3}[/mm] die
> Eigenvektoren oder die Einträge in der Matrix??
Wie beschrieben ist [mm] b_2 [/mm] der EV zu -1 und [mm] b_3 [/mm] ist der zu bestimmende Vektor - welcher kein Eigenvektor sein kann.
r und s sind die Einträge in der letzten Spalte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 07.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich versuche mich jetzt nochmal an dieser Aufgabe.
Also du hast gesagt, dass r und s die Einträge in der letzten Spalte sind. Letzte Spalte welcher Matrix?
Entschuldige, dass ich so auf dem Schlauch stehe, passiert sonst eigentlich nicht...
Grüße kiri
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> Hallo,
> ich versuche mich jetzt nochmal an dieser Aufgabe.
>
> Also du hast gesagt, dass r und s die Einträge in der
> letzten Spalte sind. Letzte Spalte welcher Matrix?
von B.
(oh, ich sehe gerade, daß ich die neuen Basisvektoren einmal [mm] c_i [/mm] und einmal [mm] b_i [/mm] genannt habe, das trägt natürlich nicht zur Aufklärung bei. Tut mir leid...)
Die Aufgabe ist doch im Grunde diese: finde eine Basis, bzgl derer die durch A repräsentierte Abbildung die Darstellung
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & b_{11} & b_{12}\\ 0 & b_{21} & b_{22}}
[/mm]
hat.
Wir wissen ja: in der Darstellungsmatrix kommen die Bilder der Basisvektoren in die Spalten.
Was muß diese Neue Basis [mm] C:=(c_1, c_2, c_3), [/mm] die wir suchen, leisten?
[mm] f(c_1)= \vektor{1 \\ 0\\0}_C= c_1.
[/mm]
D.h. es wird [mm] c_1 [/mm] auf sich selbst abgebildet. Muß [mm] c_1 [/mm] ein Eigenvektor zum EW 1 sein!.
Weiter muß sein:
[mm] f(c_2)=\vektor{0 \\ b_{11}\\b_{21}}_C= b_{11}c_2 [/mm] + [mm] \b_{21}c_3
[/mm]
Da müssen wir uns keine grauen Haare wachsen lassen, denn solch einen Vektor kennen wir schon, nämlich den Eigenvektor zum Eigenwert -1.
Wenn nun der Eigenraum zu -1 die Dimension 2 hätte, würden wir den anderen Eigenvektor auch noch nehmen und hätte somit eine Basis aus Eigenvektoren, aber die Matrix ist ja leider nicht diagonalisierbar. Also müssen wir uns etwas mehr anstrengen.
Wie suchen [mm] c_3 [/mm] mit
[mm] f(c_3)=\vektor{0 \\ b_{12}\\b_{22}}_C= b_{12}c_2 [/mm] + [mm] \b_{22}c_3.
[/mm]
Wir müssen nun [mm] (c_1, c_2) [/mm] möglichst raffiniert ergänzen zu einer Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Hierfür kannst Du einen v. [mm] c_2 [/mm] linear unabhängigen Vektor aus [mm] kern(A-(-1)E)^2 [/mm] nehmen, der tut das Gewünschte, warum, beschreibe ich hier jetzt nicht.
(Falls Ihr das hattet, einige Stichwörter dazu: invariante Unterräume, Primärzerlegung, Jordanbasis)
Oder, wie erwähnt: Du versuchst [mm] Ac_3=b_{12}c_2 [/mm] + [mm] \b_{22}c_3 [/mm] zu lösen, das kommt mir umständlicher vor.
Mit Deienr neuen Basis C kannst Du dann die Transfpormationsmatrizen aufstellen und mußt nur noch überlegen, in welcher Reihenfolge sie die andere Matrix heranzumultiplizierne sind - im Zweifelsfalle trial and error...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 07.01.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
vielen vielen Dank!
Ich habe es jetzt verstanden. Du hast es sehr gut erklärt.
Dankeschön nochmal. :)
Grüße kiri
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