Invertierbare Matrix und c.P. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A e M(n;[mm] \IC[/mm]) mit
[mm]P_A(L) = (-1)^n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} +...+a_1 \lambda + a_0[/mm]
a) Zeige, dass A genau dann invertierbar ist, wenn [mm]a_0 \ne 0[/mm]
b) Zeige, im Falle der Invertierbarkeit von A die folgende Gleichheit:
[mm]A^-1 = \left( \bruch-{1}{a_0} \right) [(-1)^n A^{n-1} + a_{n-1} A^{n-2} + ...+ a_1 E_n] [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab im Moment ziemlich Probleme, auf einen vernünftigen Ansatz bei dieser Aufgabe zu kommen.
Bei a) habe ich mir überlegt, dass ich weiß, dass eine Matrix invertierbar ist g.d.w. det(A) [mm]\ne 0[/mm]. Hier habe ich ja aber das Problem, dass ich das charakteristische Polynom bzw die Determinante von (A - LE) vorliegen habe.
Auch weiß ich, dass das Polynom über die Komplexen Zahlen auf jeden Fall mind. eine Nullstelle haben muss, d.h. es gibt mind. einen Eigenwert. Wenn z.B. alle L = 0 wären, würde ja schon folgen, dass [mm]a_0 \ne 0[/mm] oder wenn dies das Nullpolynom wäre. Oder? Aber so richtig weiß ich nicht, wie ich das anfangen kann.
Bei b) weiß ich nicht genau, wie ich anfangen kann. :( Vielleicht, weil ich weiß, dass det A und det A^-1 beide 1 oder -1 sein müssen?
Bin für jede Hilfestellung sehr dankbar.
Lieben Gruß
Ich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
(Bist du bei Herr Külske?)
Zur a)
Da A Einträge aus [mm] \IC [/mm] hat, kann man M auf alle Fälle trigonalisieren. A ist also ähnlich zu einer Dreiecksmatrix T. Es gilt nun, dass A und T die gleiche Determinante und auch das gleiche charakteristische Polynom haben.
So, wenn A nun invertierbar sein soll, was muss dann für die Dreiecksmatrix gelten? Und was folgt daraus für das charakteristische Polynom?
Zu b)
Die Formel in b) ist die Gleiche wie in a), wenn man A für [mm] \lambda [/mm] einsetzt.
Denke jetzt mal an den Satz von Cayley-Hamilton.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Kaninchen |
Ja bin auch bei Herrn Külske 
Danke für eure Hilfe. Werd mich gleich mal dran versuchen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Es ist [mm] P_A(0) =a_0. [/mm] somit:
[mm] a_0 \ne [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] 0 ist keine Nullstelle des char. Polynoms [mm] P_A \gdw [/mm] 0 ist kein Eigenwert von A [mm] \gdw [/mm] A ist invertierbar.
(die Dreiecksmatrizen und die Trigonalisiererei brauchst Du also nicht)
Zu b) hat Teufel schon das Wesentliche gesagt.
FRED
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