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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe mal eine allgemeine Frage zum Thema Invertierbarkeit. Es geht um folgendes: manchmal tauchen Fragen auf in Form von: Welche der folgenden reellen 3x3-Matrizen sind invertierbar? Begründen Sie Ihre Antworten und bestimmen Sie gegebenenfalls
die Inverse.
D.h. man kann auch ohne die Inverse zu berechnen sehen, ob sie inventierbar ist oder nicht, aber woran?
Ok ich weiß zum Beispiel, dass die determinante nicht null sein darf und es eine quadratische Gleichung sein muss.
Gibt es noch andere Kriterien?
Lg Melisa
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Allgemein sieht man bei bestimmten Matrizen (Diagonalmatrix, Dreiecksmatrix) die Eigenwerte. Man kann recht leicht zeigen
[mm]A \textrm{ invertierbar} \gdw \textrm{ A hat nur von 0 verschiedene Eigenwerte}[/mm]
Desweiteren haben invertierbare Matrizen auch stets vollen Rang. (eigentlich trivial) Mit dem Gauß-Algo kannst du ja indirekt den Rang bestimmen. Eine positive definite Matrix ist invertierbar.
Du kannst einmal konkret die Matrizen uns mitteilen. Es findet sich schon ab und zu ein Weg ohne rechnerrei.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
zum Beispiel habe ich im Internet die hier gefunden:
[mm] A=\pmat{ 2 & 1&0 \\ 0 & 2&0\\0&0&3 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{1&1&3\\2&2&3\\7&7&3}
[/mm]
[mm] C=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}
[/mm]
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Ich hatte noch die Tatsache vergessen zu erwähnen: Sind Zeilen oder Spalten linear abhängig, dann ist die Determinante gleich Null. Ich hatte angenommen, dass das wirklich bekannt ist.
> zum Beispiel habe ich im Internet die hier gefunden:
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 1&0 \\
0 & 2&0\\
0&0&3 }[/mm] Tipp: Welcher Typ von Matrix ist das?
>
> [mm]B=\pmat{1&1&3\\
2&2&3\\
7&7&3}[/mm] Tipp: Wie sieht die Determinante aus?
>
> [mm]C=\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}[/mm] Haha. Ist das wirklich dein Ernst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok die c vergessen wir gleich wieder die hab ich gar nicht hingeschrieben :-D
zu b) die ist nicht invertierbar da det ungleich 0
bei der a habe ich als inverse
[mm] \pmat{\bruch{1}{2}&0&0\\ 0& \bruch{1}{2} & 0 \\ 0&0&\bruch{1}{2} }
[/mm]
oder ist das falsch und ich muss das mit dem Eigenwert zeigen, weil es eine obere Dreiecksmatrix ist?
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> ok die c vergessen wir gleich wieder die hab ich gar nicht
> hingeschrieben :-D
Da bin ich ja beruhigt.
>
> zu b) die ist nicht invertierbar da det ungleich 0
Richtige Antwort und falsche Begründung! Die Determinante ist GLEICH null.
>
> bei der a habe ich als inverse
> [mm]\pmat{\bruch{1}{2}&0&0\\
0& \bruch{1}{2} & 0 \\
0&0&\bruch{1}{2} }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das sieht man eigentlich schon aufgrund der Struktur.
Solltes du ja gar nicht bestimmen.
"Bei einer Dreickesmatrix stehen die Eigenwerte auf der Hauptidagonalen"
Und zu den Eigenwerten hatte ich schon etwas geschrieben.
>
> oder ist das falsch und ich muss das mit dem Eigenwert
> zeigen, weil es eine obere Dreiecksmatrix ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
zu a nochmal:
Die Hauptdiagonale besteht doch aus 2 2 3 und das ist ungleich null also ist a invertierbar?
So hab ich das verstanden:
$ A [mm] \textrm{ invertierbar} \gdw \textrm{ A hat nur von 0 verschiedene Eigenwerte} [/mm] $
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> zu a nochmal:
>
> Die Hauptdiagonale besteht doch aus 2 2 3 und das ist
> ungleich null also ist a invertierbar?
>
> So hab ich das verstanden: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]A \textrm{ invertierbar} \gdw \textrm{ A hat nur von 0 verschiedene Eigenwerte}[/mm]
Es war die Inverse nur falsch. Richtig
[mm] \left[ \begin {array}{ccc} 1/2&-1/4&0\\
\noalign{\medskip}0&1/2&0
\\
\noalign{\medskip}0&0&1/3\end {array} \right]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 10.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok danke für die Hilfe
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