Invertierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Di 19.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, f(x):=(x_1+x_2,x_1^{2}-x_2^{2}). [/mm] Wo ist f lokal [mm] C^{1} [/mm] invertierbar?
Berechnen Sie [mm] D(f^{-1})(1,0) [/mm] |
Hab nun folgendes gezeigt:
U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen: Ist gegeben, da wir uns im [mm] \IR^{2} [/mm] befinden und dieser sowohl offen als auch eine Teilmenge des [mm] \IR^{n} [/mm] ist.
f [mm] \in C^{1}(U,\IR^{n}): [/mm] Auch gegeben, da beide Komponenten von f(x) stetig sind und ihre partiellen Ableitungen jeweils auch.
Dann habe ich Df bestimmt:
Df [mm] =\pmat{ 1 & 1 \\ 2x_1 & -2x_2 }
[/mm]
Df invertierbar:Dies ist ja genau der Fall, wenn die Determinate ungleich 0 ist. Dies gilt für alle [mm] x_1 \not= -x_2.
[/mm]
Somit ist f an allen Stellen [mm] x_1 \not= -x_2 [/mm] lokal [mm] C^{1} [/mm] invertierbar.
Kann man das so machen oder muss ich noch irgendwas zeigen oder manche Teile genauer begründen?
Zum 2.Teil der Aufgabe:
(1,0) ist ja unser f(x). Also lassen sich die Gleichungen aufstellen:
I. [mm] x_1+x_2 [/mm] = 1
II: [mm] x_1^{2}-x_2^{2}=0
[/mm]
Aus II. folgt: [mm] x_1 [/mm] = [mm] \pm x_2 [/mm] und somit folgt aus I., dass [mm] x_1=x_2=\bruch{1}{2} [/mm] ist.
Das habe ich dann in mein allgemeines Df eingesetzt:
[mm] Df(x)=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }.
[/mm]
Da habe ich dann die Einheitsmatrix drangeschrieben und durch Zeilenumformungen invertiert:
[mm] D(f^{-1})=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 19.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}, f(x):=(x_1+x_2,x_1^{2}-x_2^{2}).[/mm]
> Wo ist f lokal [mm]C^{1}[/mm] invertierbar?
> Berechnen Sie [mm]D(f^{-1})(1,0)[/mm]
> Hab nun folgendes gezeigt:
> U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] offen: Ist gegeben, da wir uns im
> [mm]\IR^{2}[/mm] befinden und dieser sowohl offen als auch eine
> Teilmenge des [mm]\IR^{n}[/mm] ist.
> f [mm]\in C^{1}(U,\IR^{n}):[/mm] Auch gegeben, da beide Komponenten
> von f(x) stetig sind und ihre partiellen Ableitungen
> jeweils auch.
> Dann habe ich Df bestimmt:
> Df [mm]=\pmat{ 1 & 1 \\ 2x_1 & -2x_2 }[/mm]
> Df invertierbar:Dies
> ist ja genau der Fall, wenn die Determinate ungleich 0 ist.
> Dies gilt für alle [mm]x_1 \not= -x_2.[/mm]
> Somit ist f an allen
> Stellen [mm]x_1 \not= -x_2[/mm] lokal [mm]C^{1}[/mm] invertierbar.
> Kann man das so machen oder muss ich noch irgendwas zeigen
> oder manche Teile genauer begründen?
> Zum 2.Teil der Aufgabe:
> (1,0) ist ja unser f(x). Also lassen sich die Gleichungen
> aufstellen:
> I. [mm]x_1+x_2[/mm] = 1
> II: [mm]x_1^{2}-x_2^{2}=0[/mm]
> Aus II. folgt: [mm]x_1[/mm] = [mm]\pm x_2[/mm] und somit folgt aus I., dass
> [mm]x_1=x_2=\bruch{1}{2}[/mm] ist.
> Das habe ich dann in mein allgemeines Df eingesetzt:
> [mm]Df(x)=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }.[/mm]
> Da habe ich dann die
> Einheitsmatrix drangeschrieben und durch Zeilenumformungen
> invertiert:
> [mm]D(f^{-1})=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} }[/mm]
>
Alles bestens
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 19.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Danke :)
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