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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 11.12.2013 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Seien [mm] $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ [/mm] und [mm] $B\in\mathbb{R}^{n\times m}$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $E_m-AB$ [/mm] invertierbar ist genau dann, wenn [mm] $E_n-BA$ [/mm] invertierbar ist.
Hinweis: entweder raten Sie die Inverse von [mm] $E_n-BA$ [/mm] (gegeben die Inverse von [mm] $E_m-AB$) [/mm] oder Sie benutzen, dass der Kern einen nicht-Null Vektor enthält, falls eine Matrix nicht invertierbar ist. |
Hi,
ich hab den Hinweis mal folgendermaßen verwertet: Sei [mm] $E_m-AB$ [/mm] invertierbar. Angenommen [mm] $E_n-BA$ [/mm] ist nicht invertierbar, dann ist [mm] $\text{Rang}(E_n-BA)0$. [/mm] Es gibt also einen Vektor [mm] $v\in\mathbb{R}^n,v\neq [/mm] 0$ sodass [mm] $(E_n-BA)v=0\Leftrightarrow [/mm] v=(BA)v$.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich das jetzt zu einem Widerspruch zur Voraussetzung bringen kann?
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Do 12.12.2013 | | Autor: | hippias |
Es gilt ja nur $(E-AB)v= v-ABv$, aber weiter kommt man nicht, weil Du $v= BAv$ weisst, aber nichts, wenn die Reihenfolge vertauscht wird. Aber man koennte diese Gleichheit folgendermassen interpretieren: Auf $v$ heben sich $B$ und $A$ - in der richtigen Reihenfolge - auf. Also versuche einmal $(E-AB)Av$ auszuwerten.
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