Invertierbarkeit von Matrizen < Lerngruppe LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] ungerade. Seien [mm] $A,B\in M_{nn}(\IR)$ [/mm] Matrizen, für die $AB=-BA$ gilt.
1.) Beweisen Sie, dass $A$ oder $B$ nicht invertierbar sind.
2.) Gilt diese Aussage auch, wenn sie [mm] $\IR$ [/mm] durch einen beliebigen Körper ersetzen?
3.) Gilt die erste Aussage auch, wenn n gerade ist? |
Der Ansatz:
1.) Sei $C=AB$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $C=-BA$
Nach Produktregel für quadratische Matrizen gilt: $det(AB)=det(A)*det(B)$ also:
$det(C)=det(A)*det(B)$ und [mm] $det(C)=det(-BA)=(-1)^n det(BA)=(-1)^n [/mm] det(B)*det(A)$
da $n$ ungerade
$det(A)*det(B)=(-1)det(B)*det(A)$
$(*) [mm] \gdw [/mm] 1=-1$ und [mm] $det(A)*det(B)\not=0$
[/mm]
da (*) in [mm] $\IR$ [/mm] eine falsche Aussage ist muß $det(A)det(B)=0$ gelten.
$det(A)det(B)=0$
[mm] $\gdw det(A)=0\Rightarrow$ [/mm] A nicht invertierbar oder
[mm] $det(B)=0\Rightarrow$ [/mm] B nicht invertierbar oder beide Determinanten 0 also A und B nicht invertierbar.
2.) nein die Aussage gilt nicht in einem beliebigen Körper, da in [mm] $\IF_2 [/mm] 1=-1$ eine wahre Aussage ist.
3.) nein die Aussage kann so nicht für gerade n gemacht werden, da dann aus:
[mm] $det(A)det(B)=(-1)^n [/mm] det(B)det(A)$
$1=1$ folgt was bekanntlich eine wahre Aussage ist.
Ist das schon die ganze Lösung?? Ging mir alles zu schnell (und dann war es meist falsch). Hat jemand einen Tip was das für Matrizen A,B sind, die die Bedingung der Aufgabe erfüllen??
Danke sagt der
Sashman
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> Sei [mm]n\in\IN[/mm] ungerade. Seien [mm]A,B\in M_{nn}(\IR)[/mm] Matrizen,
> für die [mm]AB=-BA[/mm] gilt.
>
> 1.) Beweisen Sie, dass [mm]A[/mm] oder [mm]B[/mm] nicht invertierbar sind.
>
> 2.) Gilt diese Aussage auch, wenn sie [mm]\IR[/mm] durch einen
> beliebigen Körper ersetzen?
>
> 3.) Gilt die erste Aussage auch, wenn n gerade ist?
Hallo,
ein bißchen Kosmetik für die 1.), es ist aber alles richtig.
> Der Ansatz:
>
1.) Sei [mm]AB=-BA[/mm]
==> det(AB)=det(-BA)
>
> Nach Produktregel für quadratische Matrizen gilt:
> [mm]det(AB)=det(A)*det(B)[/mm]
und
>
>det(BA)=det(-B)*det(A)[/mm]
also det(A)*det(B)=det(-B)*det(A)
Nach den Rechenregeln für Determinanten folgt
det(A)*det(B)=(-1)^ndet(B)det(A)
>
> da [mm]n[/mm] ungerade
>
> [mm]det(A)*det(B)=(-1)det(B)*det(A)[/mm]
==>
> [mm]det(A)det(B)=0[/mm]
==> det(A)=0 oder det(B)=0
==> A ist nicht invertierbar oder Bist nicht invertierbar.
Zu 2.) und 3.) solltest Du Beispiele angeben für Matrizen mit AB=-BA, welche invertierbar sind.
So, wie es jetzt dasteht, überzeugt es nicht, obgleich natürlich die -1 der Knackpunkt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 23.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin!
Freut mich das das so stimmte.
Habe nach einigem Ringen ein Beispiel für 3) gefunden bin aber bei 2) ein wenig überfordert, da ja n ungerade sein muß.
Es sei denn dieses Beispiel geht ok
Seien [mm] $A,B\in M_{11}(\IF_2)$ [/mm] mit $A=(1)$ und $B=(-1)$
dann ist
$AB=1*(-1)=-1=1=-BA$
und $A$ invertierbar, da [mm] $det(A)=1\not= [/mm] 0$
in Dankbarkeit
Sashman
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>
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> Seien [mm]A,B\in M_{11}(\IF_2)[/mm] mit [mm]A=(1)[/mm] und [mm]B=(-1)[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]AB=1*(-1)=-1=1=-BA[/mm]
>
> und [mm]A[/mm] invertierbar, da [mm]det(A)=1\not= 0[/mm]
Das Beispiel, welches ich auf Lager habe, ist mit Deinem engstens verwandt, es hat den Vorteil daß es für jede "Matrizengröße" paßt, nicht nur für 1x1-Matrizen:
Sei [mm] n\in \IN [/mm] (gerade oder ungerade)
Sei [mm] E_n [/mm] die Einheitsmatrix in [mm] M_{nxn}(\IF_2).
[/mm]
Da in [mm] \IF_2 [/mm] 1=-1, ist [mm] E_n=-E_n
[/mm]
Mit [mm] A:=E_n [/mm] und [mm] B:=E_n [/mm] hat man invertierbare Matrizen A,B mit AB=-BA.
Gruß v. Angela
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