Invertierbarkeit von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe ein allgemeines Verständnisproblem:
1. Sind Matrizen nur invertierbar, wenn ihre Treppennormalform die Einheitsmatrix ist ?
2. Kann man sagen: Wenn AB invertierbar, dann ist auch BA invertierbar ?
3. Sind 2 Matrizen zeilenäquivalent, wenn ihre Treppennormalform gleich ist ?
Danke, Susanne.
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> 1. Sind Matrizen nur invertierbar, wenn ihre
> Treppennormalform die Einheitsmatrix ist ?
Hallo,
hier wäre es sicher gut gewesen, hättest Du angegeben, was Ihr unter Treppennormalform und zeilenäquivalent versteht.
Für mich ist
Treppennormalform "Treppenform und die führenden Elemente einer Zeile sind =1", so daß ich mit "nein" antworten würde.
Also sieht das z.B. so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\0&0& 1&7\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0}.
[/mm]
Bei invertierbaren Matrizen hat man in der Treppennormalform auf der kompletten Hauptdiagonalen Einsen stehen, z.B
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\0&1& 1&7\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1}.
[/mm]
( Diese kann man natürlich weiter umformen zur Einheitsmatrix, und wenn bei Euch "Treppennormalform" bedeutet, daß alle Einträge über und unter den Pivotelementen =0 sind, so müßte man mit "ja" antworten.)
> 2. Kann man sagen: Wenn AB invertierbar, dann ist auch BA
> invertierbar ?
Mit der Determinante kann man es schnell begründen.
> 3. Sind 2 Matrizen zeilenäquivalent, wenn ihre
> Treppennormalform gleich ist ?
Hierzu sag' ich lieber nichts.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 21.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe !
> hier wäre es sicher gut gewesen, hättest Du angegeben, was
> Ihr unter Treppennormalform und zeilenäquivalent versteht.
Wenn Matrix A zu Matrix B zeilenäquivalent ist, dann gilt:
[mm] A =E_1E_2E_3..B [/mm] [mm] (E_n [/mm] sind endlich viele Elementarmatrizen)
> Bei invertierbaren Matrizen hat man in der
> Treppennormalform auf der kompletten Hauptdiagonalen Einsen
> stehen, z.B
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\0&1& 1&7\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1}.[/mm]
>
> ( Diese kann man natürlich weiter umformen zur
> Einheitsmatrix, und wenn bei Euch "Treppennormalform"
> bedeutet, daß alle Einträge über und unter den
> Pivotelementen =0 sind, so müßte man mit "ja" antworten.)
Ja, bei uns muss über und unter den Pivotelementen 0 stehen.
> > 2. Kann man sagen: Wenn AB invertierbar, dann ist auch BA
> > invertierbar ?
>
> Mit der Determinante kann man es schnell begründen.
Determinanten kann ich noch nicht, ich habe jetzt aber ein Beispiel gefunden, dass zeigt, dass die Aussage falsch ist:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0}.[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0&1 \\ 0 & 0}.[/mm]
[mm] AB=\pmat{ 1 & 0 \\ 0&1}.[/mm]
[mm] BA=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
> > 3. Sind 2 Matrizen zeilenäquivalent, wenn ihre
> > Treppennormalform gleich ist ?
>
> Hierzu sag' ich lieber nichts.
Huch - war die Frage so dumm ?
Nach längerem Überlegen und Nachlesen würde ich sagen: Ja
LG und danke, Susanne.
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> Hallo Angela,
> vielen Dank für Deine Hilfe !
> > hier wäre es sicher gut gewesen, hättest Du angegeben, was
> > Ihr unter Treppennormalform und zeilenäquivalent versteht.
> Wenn Matrix A zu Matrix B zeilenäquivalent ist, dann
> gilt:
> [mm]A =E_1E_2E_3..B[/mm] [mm](E_n[/mm] sind endlich viele Elementarmatrizen)
>
>
> > Bei invertierbaren Matrizen hat man in der
> > Treppennormalform auf der kompletten Hauptdiagonalen Einsen
> > stehen, z.B
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\0&1& 1&7\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1}.[/mm]
> >
> > ( Diese kann man natürlich weiter umformen zur
> > Einheitsmatrix, und wenn bei Euch "Treppennormalform"
> > bedeutet, daß alle Einträge über und unter den
> > Pivotelementen =0 sind, so müßte man mit "ja" antworten.)
> Ja, bei uns muss über und unter den Pivotelementen 0
> stehen.
Ah. Damit steht dann ja die Lösung für diese Teilaufgabe.
>
> > > 2. Kann man sagen: Wenn AB invertierbar, dann ist auch BA
> > > invertierbar ?
> >
> > Mit der Determinante kann man es schnell begründen.
> Determinanten kann ich noch nicht,
Sie funktionieren ja auch nur für quadratische Matrizen, von welchen ich stillschweigend und fälschlicherweise ausgegangen war.
ich habe jetzt aber ein
> Beispiel gefunden, dass zeigt, dass die Aussage falsch
> ist:
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0}.[/mm]
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0&1 \\ 0 & 0}.[/mm]
>
> [mm]AB=\pmat{ 1 & 0 \\ 0&1}.[/mm]
> [mm]BA=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0}.[/mm]
Gutes Beispiel!
>
> > > 3. Sind 2 Matrizen zeilenäquivalent, wenn ihre
> > > Treppennormalform gleich ist ?
> >
> > Hierzu sag' ich lieber nichts.
> Huch - war die Frage so dumm ?
Nein, nicht die Frage - ich!!!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 21.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
vielen Dank !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Di 23.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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