Invertierbarkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallöchen,
wie kann ich zeigen, dass eine 3x3 Matrix invertierbar ist?
Ich habe hier eine Aufgabenstellung, bei der ich zunächst zeigen soll, dass eine Matrix invertierbar ist und sie dann berechenen soll. Das hat mich allerdings ein bisschen verwirrt.
Wie ich die Inverse einer Matrix im Prinzip berechne ist mir eigentlich klar, aber ich weiß nicht, wie ich zeigen kann, dass die Inverse überhaupt existiert.
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
Jasmin
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jasmin!
Eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist, also vollen Rang besitzt. Nehme dir also einfach die Zeilen- oder Spaltenvektoren (das ist wegen "Zeilenrang=Spaltenrang=Rang" egal, du musst dich nur vorher entscheiden) und prüfe, ob sie eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] bilden, d.h. ob sie linear unabhängig sind.
Dies ist äquivalent dazu, dass die Determinante dieser Matrix nicht gleich $0$ ist. Bei einer [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, daher würde ich in diesem Falle diesen Weg empfehlen. Aber es geht auch wie oben beschrieben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hi,
ich habe in den Spalten die Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] . Die ganze Matrix ist [mm] \in [/mm] M(3x3, [mm] \IF_{2}). [/mm] Es ist offensichtlich, dass diese Vektoren linear unabhängig sind.
Also ist doch auch die Determinante [mm] \not= [/mm] 0 . Reicht das nun als Argument dafür, dass die Matrix invertierbar ist?
Dann muss ich mir ja nun nur die Einheitsmatrix denken, also
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und führe dann elementare Zeilenumformungen durch, bis ich auf der rechten Seite meine Inverse stehen habe.
Sehe ich das richtig?
LG
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jasmin!
Mit "offensichtlich" wäre ich über dem Körper [mm] $\IF_2$ [/mm] etwas vorsichtig, aber in diesem Fall stimmt es. 
Ja, du musst dir jetzt diese Matrix nehmen, daneben die Einheitsmatrix schreiben, dann die Matrix mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen auf die Gestalt der Einheitsmatrix bringen und die selbigen Umformungen auch bei der Einheitsmatrix durchführen. Die sich durch diese "Manipulationen" ergebende ehemalige Einheitsmatrix ist dann deine Inverse.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Ok, aber warum kann ich nicht sagen, dass die offensichtlich lin. inabh. sind, das sieht man doch, auch wenn die Vektoren aus [mm] \IF_2 [/mm] sind. Sie enthalten doch keine 2 oder ähnliches, was mich täuschen könnte....
LG
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jasmin!
Nein, aber es könnte ja sein, dass sich zwei oder alle drei Vektoren zum Nullvektor aufaddieren, ohne dass man es sofort sieht (eben wenn man nicht beachtet, dass in [mm] $\IF_2$ [/mm] gerade $1+1=0$ gilt).
Aber anscheinend hast du das ja beachtet... insofern ist alles in Ordnung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
an das mit dem Nullvektor habe ich in diesem Fall speziell gar nicht mehr gedacht, aber wenn sich eine solche Möglichkeit geboten hätte, dann wäre es mir wahrscheinlich aufgefallen, aber so ist es irgendwie alles klar.
Vielen Dank!
Jasmin
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