Invertieren nicht-quadratischer Matritzen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich benötige einen formalen Beweis dafür, daß nicht-quadratische Matritzen nicht invertierbar sind. Genauer gesagt sollte es ein Kriterium geben, um zu überprüfen, ob eine Matrix invertierbar ist, welches nicht als voraussetzende Annahme beinhaltet, daß die betreffende Matrix quadratisch ist.
Ausgangspunkt ist die Vermutung, daß eine nicht-quadratische Matrix keine Determinante besitzt, somit vor allem auch keine Determinante gleich Null besitzt. Somit sollte sie invertierbar sein. Dies zu widerlegen ist die Aufgabe.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 22.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo BAGZZlash!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix induziert ja eine lineare Abbildung
[mm] $L_A [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^m & \to & \IR^n \\[5pt] x & \mapsto & A \cdot x \end{array}$.
[/mm]
Die Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $L_A$ [/mm] bijektiv ist.
Nun ist [mm] $L_A$ [/mm] genau dann injektiv, wenn $Rang(A)=m$ ist (d.h. wenn der Spaltenrang maximal ist) und genau dann surjektiv, wenn $Rang(A)=n$ ist (d.h. wenn der Zeilenrang maximal ist).
Wegen "Spaltenrang = Zeilenrang = $Rang(A)$" kann aber im Falle $m [mm] \ne [/mm] n$ nicht beides zugleich maximal sein.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 So 22.08.2004 | | Autor: | BAGZZlash |
Hallo Stefan!
Vielen Dank, das klingt super. Genau das brauchte ich!
Gruß
BAGZZlash
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