Irrationalität von Wurzeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Beweisen Sie, dass die Wurzel aus 6 irrational ist.
2. FOLGERN sie daraus, dass die Summe der Wurzel aus 2 und der Wurzel aus 3 ebenfalls irrational ist. |
Zuallererst: Es handelt sich um unser erstes Übungsblatt für Analysis I, also bitte nicht die Augen verdrehen, dass die Aufgaben für euch gestandene Mathematiker viel zu trivial sind ;)
Ich weiß, dass man die Irrationalität von Wurzeln in der Regel indirekt beweist, indem man sich einen Bruch p/q denkt, der die Zahl sqrt(x) ergibt und diese Aussage dann zu einem Widerspruch führt, soweit, so gut.
Nun habe ich dazu erstmal eine Verstänidnisfrage...
Euklid bewies die Irrationalität der Wurzel aus 2 doch so:
Wenn sqrt(2) = p/q, dann muss 2 = p²/q² sein, oder: 2q² = p².
2q² ist gerade, also muss p² auch gerade sein...folglich, q und p wären nicht teilerfremd, dies ist aber unsere Annahme -> Widerspruch.
Ich habe mir überlegt, dass man auf diese Weise auch beweisen könnte, dass die Wurzel aus 100 irrational wäre, was natürlich nicht der Fall ist: 100q² ist gerade, also muss es p² auch sein, keine Teilerfremdheit, Widerspruch. Das ist doch aber Blödsinn!?
Nun zu den Aufgaben. Wenn sqrt(6) = p/q, dann 6 = p²/q², dann 6q² = p².
Aber wie geht es weiter...?
Die Idee für die zweite Aufgabe ist, dass ich die Irrationalitäten von sqrt(2) und sqrt(3) beweise, und die Summe zweier irrationaler Zahlen ist immer eine irrationale Zahl. Die Aufgabe lautet aber, zu FOLGERN. sqrt(6) kann man schreiben als sqrt(2)*sqrt(3). Ist damit schon gezeigt, dass sqrt(2) und sqrt(3) irrational sind, wenn ich bereits bewiesen habe, dass sqrt(6) irrational ist?
Es tut mir Leid, dass ich euch mit solchen Banalitäten nerve, aber ich bin erst in der ersten Woche des Studiums...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Do 20.10.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> 1. Beweisen Sie, dass die Wurzel aus 6 irrational ist.
>
> 2. FOLGERN sie daraus, dass die Summe der Wurzel aus 2 und
> der Wurzel aus 3 ebenfalls irrational ist.
> Zuallererst: Es handelt sich um unser erstes Übungsblatt
> für Analysis I, also bitte nicht die Augen verdrehen, dass
> die Aufgaben für euch gestandene Mathematiker viel zu
> trivial sind ;)
>
> Ich weiß, dass man die Irrationalität von Wurzeln in der
> Regel indirekt beweist, indem man sich einen Bruch p/q
> denkt, der die Zahl sqrt(x) ergibt und diese Aussage dann
> zu einem Widerspruch führt, soweit, so gut.
>
> Nun habe ich dazu erstmal eine Verstänidnisfrage...
> Euklid bewies die Irrationalität der Wurzel aus 2 doch
> so:
>
> Wenn sqrt(2) = p/q, dann muss 2 = p²/q² sein, oder: 2q²
> = p².
> 2q² ist gerade, also muss p² auch gerade
> sein...folglich, q und p wären nicht teilerfremd, dies ist
Das folgt aber nicht unbedingt unmittelbar. Sondern man sieht in dem man die Gleichung [mm] 2q^2=p^2 [/mm] benutzt, dass q auch gerade sein muss. Damit folgt dann dass p,q nicht teilerfremd sind. Bei deinem Beispiel mit [mm] \sqrt{100} [/mm] kannst du diesen Schluss nicht ziehen.
> aber unsere Annahme -> Widerspruch.
>
> Ich habe mir überlegt, dass man auf diese Weise auch
> beweisen könnte, dass die Wurzel aus 100 irrational wäre,
> was natürlich nicht der Fall ist: 100q² ist gerade, also
> muss es p² auch sein, keine Teilerfremdheit, Widerspruch.
> Das ist doch aber Blödsinn!?
>
siehe oben.
> Nun zu den Aufgaben. Wenn sqrt(6) = p/q, dann 6 = p²/q²,
> dann 6q² = p².
> Aber wie geht es weiter...?
Gehe so vor wie bei dem Beweis für [mm] \sqrt{2} [/mm], du kannst zeigen, dass q und p beide gerade sein müssen.
> Die Idee für die zweite Aufgabe ist, dass ich die
> Irrationalitäten von sqrt(2) und sqrt(3) beweise, und die
> Summe zweier irrationaler Zahlen ist immer eine irrationale
> Zahl. Die Aufgabe lautet aber, zu FOLGERN. sqrt(6) kann man
Das ist falsch. Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist nicht notwendigerweise irrational. Betrachte etwa [mm] \sqrt{2} + (3-\sqrt{2})=3 [/mm].
Mache auch bei der zweiten Aufgabe denselben Ansatz wie oben. Dann ausmultiplizieren und 1) benutzen.
> schreiben als sqrt(2)*sqrt(3). Ist damit schon gezeigt,
> dass sqrt(2) und sqrt(3) irrational sind, wenn ich bereits
> bewiesen habe, dass sqrt(6) irrational ist?
>
> Es tut mir Leid, dass ich euch mit solchen Banalitäten
> nerve, aber ich bin erst in der ersten Woche des
> Studiums...
Keine Sorge. Jeder fängt klein an ;).
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Beste Grüße,
Berieux
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| Aufgabe | | 1. Beweisen Sie, dass [mm] \wurzel{6} [/mm] irrational ist. |
Ich danke dir für deine Antwort, ich glaube, ich habe deinen Einwand verstanden und mich jetzt wieder an den Beweis der Irrationalität von Wurzel [mm] \wurzel{6} [/mm] gesetzt. Ich "biete" folgenden Lösungsvorschlag an:
Wir wollen Beweisen, dass [mm] \wurzel{6} [/mm] irrational ist, also nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben kann, d.h.
[mm] \wurzel{6} \not= \bruch{n}{m} [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] und m [mm] \in \IN.
[/mm]
m und n sind natürlich teilerfremd.
Wir gehen daher davon aus, dass es einen solchen Bruch gibt.
[mm] \wurzel{6} [/mm] = [mm] \bruch{n}{m}
[/mm]
Durch Quadrieren und Umformen erhalten wir:
6 = [mm] \bruch{n^2}{m^2}
[/mm]
[mm] 6m^2 [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
6 kann man in die Primfaktoren 2 und 3 zerlegen, also
[mm] 2*3*m^2 [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
[mm] n^2 [/mm] muss also gerade sein, also muss auch n gerade sein. Wir können [mm] n^2 [/mm] auch als eine Zahl [mm] (2p)^2 [/mm] schreiben.
[mm] 2*3*m^2 [/mm] = [mm] (2p)^2
[/mm]
[mm] 2*3*m^2 [/mm] = [mm] 4p^2
[/mm]
[mm] 3*m^2 [/mm] = [mm] 2p^2
[/mm]
Scheinbar muss auch [mm] m^2 [/mm] gerade sein. Wieder können wir [mm] m^2 [/mm] als eine Zahl [mm] (2q)^2 [/mm] schreiben.
[mm] 3*(2q)^2 [/mm] = [mm] 2p^2
[/mm]
[mm] 12q^2 [/mm] = [mm] 2p^2
[/mm]
[mm] 6q^2 [/mm] = [mm] 2p^2
[/mm]
...und plötzlich sind wir wieder am Anfang. Wir könnten nun die letzten Schritte unendlich oft wiederholen, was im Klartext heißen müsste, dass sich der Bruch, der [mm] \wurzel{6} [/mm] darstellt, unendlich oft kürzt. Brüche kann man aber immer nur endlich oft kürzen. [mm] \wurzel{6} [/mm] kann daher nicht als Bruch geschrieben werden und ist folglich irrational.
Ist mein Beweis mathematisch korrekt?
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Hallo WernerHeisenberg,
Du folgst Euklid. Nur war der schneller am Ziel. 
> 1. Beweisen Sie, dass [mm]\wurzel{6}[/mm] irrational ist.
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> Ich danke dir für deine Antwort, ich glaube, ich habe
> deinen Einwand verstanden und mich jetzt wieder an den
> Beweis der Irrationalität von Wurzel [mm]\wurzel{6}[/mm] gesetzt.
> Ich "biete" folgenden Lösungsvorschlag an:
>
> Wir wollen Beweisen, dass [mm]\wurzel{6}[/mm] irrational ist, also
> nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben kann,
> d.h.
>
> [mm]\wurzel{6} \not= \bruch{n}{m}[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] und m [mm]\in \IN.[/mm]
>
> m und n sind natürlich teilerfremd.
>
> Wir gehen daher davon aus, dass es einen solchen Bruch
> gibt.
Das "daher" ist irreführend.
> [mm]\wurzel{6}[/mm] = [mm]\bruch{n}{m}[/mm]
Hier gehört jetzt die Angabe "m,n teilerfremd" hin.
> Durch Quadrieren und Umformen erhalten wir:
>
> 6 = [mm]\bruch{n^2}{m^2}[/mm]
>
> [mm]6m^2[/mm] = [mm]n^2[/mm]
>
> 6 kann man in die Primfaktoren 2 und 3 zerlegen, also
>
> [mm]2*3*m^2[/mm] = [mm]n^2[/mm]
>
> [mm]n^2[/mm] muss also gerade sein, also muss auch n gerade sein.
> Wir können [mm]n^2[/mm] auch als eine Zahl [mm](2p)^2[/mm] schreiben.
>
> [mm]2*3*m^2[/mm] = [mm](2p)^2[/mm]
>
> [mm]2*3*m^2[/mm] = [mm]4p^2[/mm]
>
> [mm]3*m^2[/mm] = [mm]2p^2[/mm]
>
> Scheinbar muss auch [mm]m^2[/mm] gerade sein.
Nix "scheinbar". Es muss heißen: also muss auch [mm] m^2 [/mm] gerade sein.
...und damit auch m.
Ab hier kannst Du Dir den ganzen (und etwas dubiosen) Rest schenken, denn diese Feststellung zu m ist bereits der gesuchte Widerspruch. Wenn sowohl n als auch m gerade sein müssen, sind sie nicht teilerfremd, was aber Voraussetzung war!
q.e.d.
Grüße
reverend
> Wieder können wir [mm]m^2[/mm]
> als eine Zahl [mm](2q)^2[/mm] schreiben.
>
> [mm]3*(2q)^2[/mm] = [mm]2p^2[/mm]
>
> [mm]12q^2[/mm] = [mm]2p^2[/mm]
>
> [mm]6q^2[/mm] = [mm]2p^2[/mm]
>
> ...und plötzlich sind wir wieder am Anfang. Wir könnten
> nun die letzten Schritte unendlich oft wiederholen, was im
> Klartext heißen müsste, dass sich der Bruch, der
> [mm]\wurzel{6}[/mm] darstellt, unendlich oft kürzt. Brüche kann
> man aber immer nur endlich oft kürzen. [mm]\wurzel{6}[/mm] kann
> daher nicht als Bruch geschrieben werden und ist folglich
> irrational.
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> Ist mein Beweis mathematisch korrekt?
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| Aufgabe | | Folgern Sie aus der Irrationalität von [mm] \wurzel{6}, [/mm] dass [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm] irrational ist. |
Vielen Dank! Dass man sich den Rest schenken kann, hab ich ganz übersehen. Ich bin in dem mathematisch korrekten Aufstellen von Beweisen noch nicht so geübt :)
Jetzt brauch ich noch Hilfe bei der zweiten Aufgabe. Hier mein Beweisansatz:
Annahme: Es gibt eine rationale Zahl n = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Dann ist [mm] \wurzel{3} [/mm] = n - [mm] \wurzel{2} [/mm] und
3 = (n - [mm] \wurzel{2})^2
[/mm]
3 = [mm] n^2 [/mm] - [mm] 2n\wurzel{2} [/mm] + 2
1 = [mm] n^2 [/mm] - [mm] 2n\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2 - 2n}
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] ist irrational (Beweis nach Euklid), auf der rechten Seite steht ohne Zweifel eine rationale Zahl. Das ist ein Widerspruch, also gibt es keine rationale Zahl n = [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3}.
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm] ist irrational, q.e.d.
Ich denke der Beweis ist korrekt, allerdings lautet die Aufgabenstellung "folgern" sie.
[mm] \wurzel{6} [/mm] = [mm] \wurzel{2*3} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*\wurzel{3}
[/mm]
Komme ich so auch irgendwie auf einen Nachweis der Irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3}?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Folgern Sie aus der Irrationalität von [mm]\wurzel{6},[/mm] dass
> [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}[/mm] irrational ist.
> Vielen Dank! Dass man sich den Rest schenken kann, hab ich
> ganz übersehen. Ich bin in dem mathematisch korrekten
> Aufstellen von Beweisen noch nicht so geübt :)
>
> Jetzt brauch ich noch Hilfe bei der zweiten Aufgabe. Hier
> mein Beweisansatz:
>
> Annahme: Es gibt eine rationale Zahl n = [mm]\wurzel{2}[/mm] +
> [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\wurzel{3}[/mm] = n - [mm]\wurzel{2}[/mm] und
>
> 3 = (n - [mm]\wurzel{2})^2[/mm]
>
> 3 = [mm]n^2[/mm] - [mm]2n\wurzel{2}[/mm] + 2
>
> 1 = [mm]n^2[/mm] - [mm]2n\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^2 - 2n}[/mm]
Das ist nicht richtig aufgelöst. Es heißt [mm] \wurzel{2}=\bruch{n^2-1}{2n}
[/mm]
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ist irrational (Beweis nach Euklid),
Das ist jetzt die nachgereichte Voraussetzung, aber nicht die, die die Aufgabe von Dir verlangt. Du sollst von dem Wissen ausgehen, dass [mm] \wurzel{6} [/mm] irrational ist.
> auf der
> rechten Seite steht ohne Zweifel eine rationale Zahl. Das
> ist ein Widerspruch, also gibt es keine rationale Zahl n =
> [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}.[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}[/mm] ist irrational, q.e.d.
>
> Ich denke der Beweis ist korrekt, allerdings lautet die
> Aufgabenstellung "folgern" sie.
>
> [mm]\wurzel{6}[/mm] = [mm]\wurzel{2*3}[/mm] = [mm]\wurzel{2}*\wurzel{3}[/mm]
>
> Komme ich so auch irgendwie auf einen Nachweis der
> Irrationalität von [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}?[/mm]
Klar. Sei [mm] q=\wurzel{2}+\wurzel{3},\quad q\in\IQ
[/mm]
Dann ist [mm] q^2=(\wurzel{2}+\wurzel{3})^2=2+2\wurzel{6}+3
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{q^2-5}{2}=\wurzel{6}
[/mm]
Links steht eine rationale Zahl, [mm] \wurzel{6} [/mm] ist aber irrational. Darum kann es das angenommene q nicht geben.
Grüße
reverend
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