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| Aufgabe | sei f ein Polynom in K[x] mit Grad(f) = 2 bzw. 3
Zeigen Sie:
f ist irreduzibel <--> f hat keine Nustelle in K |
Hallo Leute,
so bei dieser Aufgabe habe ich mir überlegt, ob ich nicht auch zeigen kann, dass f ist reduzibel <--> f hat Nullstelle in K gilt. Geht das, oder ist die Negierung hier falsch?
Dann habe ich angefangen und habe gesagt, dass, sollte f reduzibel sein:
f=g*h gilt, wobei g und h grad 1 haben, also Linearfaktoren haben, die eine Nullstelle haben.
Bei der Rückrichtung bin ich mir aber unsicher.
f hat nun also eine Nullstelle, also [mm] f(x_{0}= [/mm] 0
--> [mm] a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^2=0
[/mm]
Hmm, aber wie kan nich weiter folgern?
Liebe Grüße
Sabine
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> sei f ein Polynom in K[x] mit Grad(f) = 2 bzw. 3
> Zeigen Sie:
> f ist irreduzibel <--> f hat keine Nustelle in K
> Hallo Leute,
> so bei dieser Aufgabe habe ich mir überlegt, ob ich nicht
> auch zeigen kann, dass f ist reduzibel <--> f hat
> Nullstelle in K gilt. Geht das, oder ist die Negierung hier
> falsch?
Das passt schon ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Dann habe ich angefangen und habe gesagt, dass, sollte f
> reduzibel sein:
> f=g*h gilt, wobei g und h grad 1 haben, also
> Linearfaktoren haben, die eine Nullstelle haben.
Naja eines der Polynome muss grad 1 haben. Bei grad(f)=3 können ja nicht beide g,h Grad 1 haben. Also
[mm] $\exists\; g,h\in K[X]\;:\;f=gh$. [/mm] OE ist grad(g)=1, d.h. g(x)=ax+b mit [mm] $a\neq [/mm] 0$.
Wie sieht jetzt die Nullstelle aus?
>
> Bei der Rückrichtung bin ich mir aber unsicher.
> f hat nun also eine Nullstelle, also [mm]f(x_{0}=[/mm] 0
> --> [mm]a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^2=0[/mm]
> Hmm, aber wie kan nich weiter folgern?
Wenn f eine Nullstelle a hat, dann sieht f so aus:
f=g*(x-a)+r. (Division mit Rest liefert diese Darstellung)
Was weißt du über grad(r) und was impliziert f(a)=0?
>
> Liebe Grüße
> Sabine
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Hey,
danke erstmal für die schnelle Antowort 
Die Hinrichtung hab ich jetzt soweit richtig, aber bei der Rückrichtung muss ich doch nochmal nachfragen. Wenn ich f so schreiben kann:
f= g*(x-a)+r
gehe ich dann nicht schon direkt davon aus, dass f reduzibel ist? schließlich faktorisiers ich doch f schon in g und eben in (x-a)+r...
wenn das so wäre, dann hätte r grad null, wäre also eine Konstante, f(a)=0 würde aber dann implizieren, dann r=0 ist. Weiter weiß ich aber auch dann nicht...Könntest du mir das vllt erklären?
Liebe Grüße
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Fr 14.01.2011 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> danke erstmal für die schnelle Antowort
> Die Hinrichtung hab ich jetzt soweit richtig, aber bei der
> Rückrichtung muss ich doch nochmal nachfragen. Wenn ich f
> so schreiben kann:
> f= g*(x-a)+r
> gehe ich dann nicht schon direkt davon aus, dass f
> reduzibel ist? schließlich faktorisiers ich doch f schon
> in g und eben in (x-a)+r...
Umgotteswillen! Die rechte Seite der Gleichung ist kein Produkt, Punkt geht vor Strich.
> wenn das so wäre, dann hätte r grad null, wäre also
> eine Konstante, f(a)=0 würde aber dann implizieren, dann
> r=0 ist.
Wenn r = 0 ist, kannst du es auf der rechten Seite auch weglassen, und dann steht da wirklich ein Produkt.
> Weiter weiß ich aber auch dann nicht...Könntest
> du mir das vllt erklären?
Na, jetzt siehst du doch, daß f reduzibel ist, f = g*(x-a) ist eine Faktorzerlegung in 2 Polynome, von denen keines eine Einheit ist. g hat nämlich mindestens den Grad 1.
Gruß aus HH
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Sabine_B. |
alles klar, jetzt hab ichs
vielen Dank nochmal für eure schnelle Hilfe
Liebe Grüße
Sabine
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