Irreduzibilität von Polynomen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind:
[mm] \[3X^{4}+6X^{2}-12X+10 \in\mathbb{Q}[x]\]
[/mm]
[mm] \[\frac{7}{8}X^{4}+\frac{1}{2}X^{3}+5X^{2}+6X+12 \in\mathbb{Q}[x]\] [/mm] |
Hallo Leute,
Als Kriterien stehen mir das Reduktionskriterium und das Eisensteinkriterium zur Verfügung.
Das erste Polynom kann ich auch betrachten als Polynom über dem Polynomring der ganzen Zahlen.
Wenn ich nachweisen kann, dass es über [mm] \[\mathbb{Z}[X]\]
[/mm]
irreduzibel ist, dann ist es das auch über [mm] \[\mathbb{Q}[X]\]irreduzibel, [/mm] da das Polynom primitiv ist (Satz von Gauß).
Das Eisensteinkriterium fällt schon mal weg, da es keine Primzahl aus [mm] \[\mathbb{Z}\] [/mm] gibt, welche den höchsten Koeffizient 3 nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt und außerdem p² teilt 10 gilt.
Reduktionen modulo 2, 5, 7 habe ich auch schon ausprobiert, allerdings machte es das ganze auch nicht einfacher
Das zweite Polynom habe ich erst mal mit 8 multipliziert, um es als Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten auffassen zu können.
Wenn ich nun nachweisen kann, dass dieses Polynom über
[mm] \[\mathbb{Z}[X]\] [/mm] irreduzibel ist, dann ist es das auch über [mm] \[\mathbb{Q}[X]\], [/mm] da 8 eine Einheit in [mm] \[\mathbb{Q}\] [/mm] ist.
Allerdings konnte ich hier wieder keines der beiden Kriterien anwenden.
Habe ich hier was übersehen, oder muss ich wirklich annehmen, dass die Polynom reduzibel sind und dies dann mit einem Koeffizientenvergleich zum Widerspruch führen?
Ich habe diese Frage außerdem schon hier gestellt:
http://bildungs-foren.de/foren/viewtopic.php?f=4&t=2847
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo Anfänger,
Eisenstein ist oft vielfältiger, als man auf Anhieb sieht...
> Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind:
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> [mm]\[3X^{4}+6X^{2}-12X+10 \in\mathbb{Q}[x]\][/mm]
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> [mm]\[\frac{7}{8}X^{4}+\frac{1}{2}X^{3}+5X^{2}+6X+12 \in\mathbb{Q}[x]\][/mm]
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> Hallo Leute,
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> Als Kriterien stehen mir das Reduktionskriterium und das
> Eisensteinkriterium zur Verfügung.
>
> Das erste Polynom kann ich auch betrachten als Polynom
> über dem Polynomring der ganzen Zahlen.
> Wenn ich nachweisen kann, dass es über [mm]\[\mathbb{Z}[X]\][/mm]
> irreduzibel ist, dann ist es das auch über
> [mm]\[\mathbb{Q}[X]\]irreduzibel,[/mm] da das Polynom primitiv ist
> (Satz von Gauß).
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> Das Eisensteinkriterium fällt schon mal weg, da es keine
> Primzahl aus [mm]\[\mathbb{Z}\][/mm] gibt, welche den höchsten
> Koeffizient 3 nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten
> teilt und außerdem p² teilt 10 gilt.
Schon richtig. Häufig muss man erst einmal substituieren. Ersetze hier mal X=Y+2 und betrachte das Polynom in Y mit Eisenstein.
> Reduktionen modulo 2, 5, 7 habe ich auch schon ausprobiert,
> allerdings machte es das ganze auch nicht einfacher
>
> Das zweite Polynom habe ich erst mal mit 8 multipliziert,
> um es als Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten auffassen
> zu können.
> Wenn ich nun nachweisen kann, dass dieses Polynom über
> [mm]\[\mathbb{Z}[X]\][/mm] irreduzibel ist, dann ist es das auch
> über [mm]\[\mathbb{Q}[X]\],[/mm] da 8 eine Einheit in
> [mm]\[\mathbb{Q}\][/mm] ist.
>
> Allerdings konnte ich hier wieder keines der beiden
> Kriterien anwenden.
>
> Habe ich hier was übersehen, oder muss ich wirklich
> annehmen, dass die Polynom reduzibel sind und dies dann mit
> einem Koeffizientenvergleich zum Widerspruch führen?
Hm. Beim zweiten Polynom habe ich mich geirrt. Ich dachte, ich hätte mit dem Reduktionskriterium etwas gesehen, aber das war falsch.
Wahrscheinlich bleibt Dir tatsächlich nur der Koeffizientenvergleich. Ich lasse die Frage mal halboffen; vielleicht sieht ja doch jemand einen Ausweg.
> Ich habe diese Frage außerdem schon hier gestellt:
> http://bildungs-foren.de/foren/viewtopic.php?f=4&t=2847
Na, da bin ich gespannt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Eisenstein ist oft vielfältiger, als man auf Anhieb
> sieht...
>
> > Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind:
> >
> > [mm]\[3X^{4}+6X^{2}-12X+10 \in\mathbb{Q}[x]\][/mm]
> >
> > Das erste Polynom kann ich auch betrachten als Polynom
> > über dem Polynomring der ganzen Zahlen.
> > Wenn ich nachweisen kann, dass es über [mm]\[\mathbb{Z}[X]\][/mm]
> > irreduzibel ist, dann ist es das auch über
> > [mm]\[\mathbb{Q}[X]\]irreduzibel,[/mm] da das Polynom primitiv ist
> > (Satz von Gauß).
Genau.
> > Das Eisensteinkriterium fällt schon mal weg, da es keine
> > Primzahl aus [mm]\[\mathbb{Z}\][/mm] gibt, welche den höchsten
> > Koeffizient 3 nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten
> > teilt und außerdem p² teilt 10 gilt.
Vorsicht! [mm] $p^2$ [/mm] darf ja gerade $10$ nicht teilen. Damit kannst du $p = 2$ nehmen, und Eisenstein liefert sofort, dass das Polynom in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] irreduzibel ist. Mit Gauss folgt dann (wie schon geschrieben) die Irreduziblitaet in [mm] $\IQ[X]$.
[/mm]
> Schon richtig. Häufig muss man erst einmal substituieren.
> Ersetze hier mal X=Y+2 und betrachte das Polynom in Y mit
> Eisenstein.
Danach ist das Polynom komplizierter, und man kann immer noch nur $p = 2$ nehmen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | reverend |
Moin Felix,
hm. Ich drohe wohl langsam zu erblinden... :-(
Hast Du eine Idee zum zweiten Polynom? Ich finde nichts Einfaches.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Fr 11.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hast Du eine Idee zum zweiten Polynom? Ich finde nichts
> Einfaches.
Ich hatte gestern abend schon etwas probiert, aber nichts gefunden. Aber nun habe ich nochmal probiert (was aehnliches was ich gestern abend probiert hatte), und siehe da: es geht doch.
Und zwar gibt es noch eine zweite Moeglichkeit, das Polynom zu ganzzahligen Koeffizienten zu ueberreden: indem man $X = 2 y$ substitutiert. Dann erhaelt man $14 [mm] y^4 [/mm] + 4 [mm] y^3 [/mm] + 20 [mm] y^2 [/mm] + 12 y + 12$, und geteilt durch 2 ist das dann $g := 7 [mm] y^4 [/mm] + 2 [mm] y^3 [/mm] + 10 [mm] y^2 [/mm] + 6 y + 6 [mm] \in \IZ[y]$. [/mm] Und auf dieses Polynom kann man schliesslich Eisenstein anwenden.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Fr 11.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
> > Hast Du eine Idee zum zweiten Polynom? Ich finde nichts
> > Einfaches.
>
> Ich hatte gestern abend schon etwas probiert, aber nichts
> gefunden. Aber nun habe ich nochmal probiert (was
> aehnliches was ich gestern abend probiert hatte), und siehe
> da: es geht doch.
>
> Und zwar gibt es noch eine zweite Moeglichkeit, das Polynom
> zu ganzzahligen Koeffizienten zu ueberreden: indem man [mm]X = 2 y[/mm]
> substitutiert. Dann erhaelt man [mm]14 y^4 + 4 y^3 + 20 y^2 + 12 y + 12[/mm],
> und geteilt durch 2 ist das dann [mm]g := 7 y^4 + 2 y^3 + 10 y^2 + 6 y + 6 \in \IZ[y][/mm].
> Und auf dieses Polynom kann man schliesslich Eisenstein
> anwenden.
Das ist ja eine subtile Überredung. Hinterher sieht es immer so offensichtlich und einfach aus. 
Liebe Grüße
rev
>
> LG Felix
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Hallo ihr Beiden,
hab heute auch noch durch einen Kommilitonen erfahren, dass ich einen (Abschreib)fehler in meiner Mitschrift zum Eisensteinkriterium hatte.
Felix hat natürlich recht, p² darf den letzten Koeffizienten nicht teilen.
Das mit dem zweiten Polynom ist echt raffiniert gelöst, darauf wär ich wohl nicht gekommen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Liebe Grüße
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