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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 So 15.11.2009 | | Autor: | Fulla |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Polynome irreduzibel sind:
a) [mm] $X^6+X^3+1\in\mathbb [/mm] Q[X]$
b) [mm] $X^3+2X^2-20\in\mathbb [/mm] Q[X]$
c) [mm] $X^5-X^3-X^2+X+1\in\mathbb [/mm] Q[X]$
d) [mm] $X^7 [/mm] + 2X^5Y + [mm] 3XY^3 [/mm] + [mm] 4Y^3 [/mm] + 5XY + [mm] 6X\in\mathbb [/mm] C[X, Y ]$ |
Hallo,
bei b) habe ich mir folgendes überlegt:
Reduktionskriterium mit $p=7$: Dann ist das Polynom genau dann irreduzibel, wenn [mm] $X^3+2X^2-6$ [/mm] irreduzibel in [mm] $\mathbb [/mm] Q [mm] /7\mathbb [/mm] Q[X]$ ist.
Jetzt Eisensteinkriterium für $p=2$: Der erste Koeffizient ist nicht durch 2 teilbar, die anderen schon. Und es gilt, dass der letzte Koeffizient nicht durch [mm] $p^2=4$ [/mm] teilbar ist. Also ist das Polynom irreduzibel.
Meine Probleme hierbei sind:
Gibt es in [mm] $\mathbb [/mm] Q$ überhaupt Primelemente? In [mm] $\mathbb [/mm] Q$ teilt doch jedes Element jedes andere, also $p\ |\ x$, für alle [mm] $p,x\in\mathbb Q\backslash\{0\}$ [/mm] (denn es gibt [mm] $a=\frac{x}{p}\in\mathbb [/mm] Q$ mit $ap=x$). Nach Definition müsste ja für die Primelemente gelten $p\ |\ xy\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] p\ |\ x$ oder $p\ |\ y$, aber in [mm] $\mathbb [/mm] Q$ teilt $p$ ja beide Elemente $x$ und $y$.
Beim zweiten Schritt wird benutzt, dass [mm] $4\not|\ [/mm] 6$ in [mm] $\mathbb [/mm] Q [mm] /7\mathbb [/mm] Q[X]$. Aber es ist doch [mm] $6\equiv 20\bmod [/mm] 7$ und $4\ |\ 20$. Oder darf ich beim Modulorechnen nicht "erweitern"?
Und da ist dann noch mein allgemeines Problem in [mm] $\mathbb [/mm] Q$: [mm] $6:4=6/4=3/2\in\mathbb Q/7\mathbb [/mm] Q$, also gilt doch $4\ |\ 6$...?
Ich bin verwirrt....
(Und bei den anderen Polynomen habe ich leider gar keinen Ansatz.)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fulla!
> Zeigen Sie, dass folgende Polynome irreduzibel sind:
> a) [mm]X^6+X^3+1\in\mathbb Q[X][/mm]
> b) [mm]X^3+2X^2-20\in\mathbb Q[X][/mm]
>
> c) [mm]X^5-X^3-X^2+X+1\in\mathbb Q[X][/mm]
> d) [mm]X^7 + 2X^5Y + 3XY^3 + 4Y^3 + 5XY + 6X\in\mathbb C[X, Y ][/mm]
>
> bei b) habe ich mir folgendes überlegt:
> Reduktionskriterium mit [mm]p=7[/mm]: Dann ist das Polynom genau
> dann irreduzibel, wenn [mm]X^3+2X^2-6[/mm] irreduzibel in [mm]\mathbb Q /7\mathbb Q[X][/mm]
> ist.
Mal so als Hinweis: [mm] $\IQ$ [/mm] ist ein Koerper, womit [mm] $7\IQ [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm] ist und somit [mm] $\IQ/7\IQ$ [/mm] der Nullring ist.
Du musst schon ueber [mm] $\IZ$ [/mm] arbeiten und nachher das Resultat mit Gauss auf [mm] $\IQ$ [/mm] erweitern.
> Jetzt Eisensteinkriterium für [mm]p=2[/mm]: Der erste Koeffizient
> ist nicht durch 2 teilbar, die anderen schon. Und es gilt,
> dass der letzte Koeffizient nicht durch [mm]p^2=4[/mm] teilbar ist.
> Also ist das Polynom irreduzibel.
Das Eisensteinkriterium gilt in [mm] $\IZ$, [/mm] aber nicht in [mm] $\IZ/7\IZ$: [/mm] das ist ein Koerper und hat keine Primelemente.
> Meine Probleme hierbei sind:
> Gibt es in [mm]\mathbb Q[/mm] überhaupt Primelemente?
Nein. Deswegen musst du auch mit [mm] $\IZ$ [/mm] arbeiten.
Ist das jetzt etwas klarer?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Fulla |
Danke Felix! Damit wird mir einiges klarer!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:15 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fulla!
> Zeigen Sie, dass folgende Polynome irreduzibel sind:
> a) [mm]X^6+X^3+1\in\mathbb Q[X][/mm]
Schau es dir mal modulo 2 an. Dort hat es keine Nullstellen (warum?); wenn es also reduzibel ist, hat es einen irreduziblen Faktor von Grad 2 oder 3 (warum?). Davon gibt es nur drei normierte; schreibe sie hin und fuehre jeweils Division mit Rest aus und zeige damit, dass diese das Polynom nicht teilen.
> b) [mm]X^3+2X^2-20\in\mathbb Q[X][/mm]
Zeige, dass das Polynom in [mm] $\IQ$ [/mm] keine Nullstellen hat (da es von Grad 3 ist reicht dies aus). Dazu musst du nur die ganzen Zahlen testen, die 20 teilen (warum?).
> c) [mm]X^5-X^3-X^2+X+1\in\mathbb Q[X][/mm]
Hier kannst du genauso wie bei a) vorgehen, nur dass du hier nur auf Nullstellen und auf Teilbarkeit durch [mm] $X^2 [/mm] + X + 1$ testen musst (warum?).
> d) [mm]X^7 + 2X^5Y + 3XY^3 + 4Y^3 + 5XY + 6X\in\mathbb C[X, Y ][/mm]
Verwende hier Eisenstein in [mm] $(\IC[X])[Y]$ [/mm] mit einem passenden Primelement in [mm] $\IC[X]$.
[/mm]
LG Felix
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