Irreduzible Darstellung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Fr 08.10.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN. [/mm] Die [mm] S_{n} [/mm] operiert auf der Menge [mm] X:=\{1,..., n\}. [/mm]
Nach der universellen Eigenschaft der Vektorräume existiert genau eine lineare Abbildung [mm] \overline{\sigma} [/mm] mit:
[mm] \overline{\sigma}\circ\beta=\beta\circ\sigma [/mm]
wobei [mm] \beta(i):=e_{i} [/mm] (Standardbasisvektoren)
Die Abbildung [mm] \delta: \sigma \mapsto \overline{\sigma}
[/mm]
ist ein Gruppenhomomorphismus, also ist dadurch eine lineare Darstellung von [mm] S_{n}gegeben. [/mm]
[mm] V:=span(\vektor{1 \\ ... \\ 1}) [/mm] ist natürlich eine Teildarstellung.
[mm] V^{\perp}=\{\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}| x_{1}+...+x_{n}=0\}
[/mm]
Frage: Ist die Zerlegung der Darstellung [mm] \IC^{n}=V\oplus V^{\perp} [/mm] eine in irreduzible Teildarstellungen? |
Heyho!
Klar ist ja erstmal nur, dass V irreduzubel ist...
Doch wie ist das mit [mm] V^{\perp\}?
[/mm]
Es gibt die Vermutung, dass das allgemein so ist, für alle n...
Auf jeden Fall soll es wohl für n=3 passen.
Doch wie beweise ich das?
Kann man irgendwie zeigen, dass es von [mm] V^{\perp} [/mm] nur die triviale Zerlegung gibt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 02:09 Fr 08.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]n\in \IN.[/mm] Die [mm]S_{n}[/mm] operiert auf der Menge [mm]X:=\{1,..., n\}.[/mm]
> Nach der universellen Eigenschaft der Vektorräume
> existiert genau eine lineare Abbildung [mm]\overline{\sigma}[/mm]
> mit:
>
> [mm]\overline{\sigma}\circ\beta=\beta\circ\sigma[/mm]
> wobei [mm]\beta(i):=e_{i}[/mm] (Standardbasisvektoren)
>
> Die Abbildung [mm]\delta: \sigma \mapsto \overline{\sigma}[/mm]
> ist
> ein Gruppenhomomorphismus, also ist dadurch eine lineare
> Darstellung von [mm]S_{n}gegeben.[/mm]
>
> [mm]V:=span(\vektor{1 \\ ... \\ 1})[/mm] ist natürlich eine
> Teildarstellung.
> [mm]V^{\perp}=\{\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}| x_{1}+...+x_{n}=0\}[/mm]
>
> Frage: Ist die Zerlegung der Darstellung [mm]\IC^{n}=V\oplus V^{\perp}[/mm]
> eine in irreduzible Teildarstellungen?
> Heyho!
>
> Klar ist ja erstmal nur, dass V irreduzubel ist...
> Doch wie ist das mit [mm]V^{\perp\}?[/mm]
>
> Es gibt die Vermutung, dass das allgemein so ist, für alle
> n...
> Auf jeden Fall soll es wohl für n=3 passen.
>
> Doch wie beweise ich das?
>
> Kann man irgendwie zeigen, dass es von [mm]V^{\perp}[/mm] nur die
> triviale Zerlegung gibt?
Sei [mm] $\sigma$ [/mm] das Element aus $S(n)$ mit [mm] $\sigma(i) [/mm] = i + 1$ fuer $i < n$ und [mm] $\sigma(n) [/mm] = 1$. Sei [mm] $e_i$ [/mm] der Vektor mit einer $1$ an der $i$-ten Stelle und einer $-1$ an der $i+1$-ten Stelle (wobei $n+1 = 1$ sei). Dann ist [mm] $(v_1, \dots, v_{n-1})$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^n$ [/mm] (beachte, dass [mm] $v_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] v_{n-1} [/mm] = [mm] -v_n$ [/mm] ist), und [mm] $\overline{\sigma}(v_i) [/mm] = [mm] v_{i+1}$ [/mm] fuer $i < n$ und [mm] $\overline{\sigma}(v_n) [/mm] = [mm] v_1$.
[/mm]
Stelle die Matrix von [mm] $\overline{\sigma}$ [/mm] bzg. [mm] $(v_1, \dots, v_{n-1})$ [/mm] auf. Berechne das Minimalpolynom (das geht ganz einfach, wenn du beachtest, dass die Matrix eine von einem ganz speziellen Typ ist; Stichwort: Begleitmatrix).
Daraus kannst du folgern, dass [mm] $V^\perp$ [/mm] ein zyklischer Unterraum von $V$ ist. (Sagt dir das etwas?)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Sa 09.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Stelle die Matrix von [mm]\overline{\sigma}[/mm] bzg. [mm](v_1, \dots, v_{n-1})[/mm]
> auf. Berechne das Minimalpolynom (das geht ganz einfach,
> wenn du beachtest, dass die Matrix eine von einem ganz
> speziellen Typ ist; Stichwort: Begleitmatrix).
>
> Daraus kannst du folgern, dass [mm]V^\perp[/mm] ein zyklischer
> Unterraum von [mm]V[/mm] ist. (Sagt dir das etwas?)
Daraus folgt jedoch nicht, dass man es nicht noch weiter zerlegen kann; siehe etwa das Gegenbeispiel hier.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]n\in \IN.[/mm] Die [mm]S_{n}[/mm] operiert auf der Menge [mm]X:=\{1,..., n\}.[/mm]
> Nach der universellen Eigenschaft der Vektorräume
> existiert genau eine lineare Abbildung [mm]\overline{\sigma}[/mm]
> mit:
>
> [mm]\overline{\sigma}\circ\beta=\beta\circ\sigma[/mm]
> wobei [mm]\beta(i):=e_{i}[/mm] (Standardbasisvektoren)
>
> Die Abbildung [mm]\delta: \sigma \mapsto \overline{\sigma}[/mm]
> ist
> ein Gruppenhomomorphismus, also ist dadurch eine lineare
> Darstellung von [mm]S_{n}gegeben.[/mm]
>
> [mm]V:=span(\vektor{1 \\ ... \\ 1})[/mm] ist natürlich eine
> Teildarstellung.
> [mm]V^{\perp}=\{\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}| x_{1}+...+x_{n}=0\}[/mm]
>
> Frage: Ist die Zerlegung der Darstellung [mm]\IC^{n}=V\oplus V^{\perp}[/mm]
> eine in irreduzible Teildarstellungen?
> Heyho!
>
> Klar ist ja erstmal nur, dass V irreduzubel ist...
> Doch wie ist das mit [mm]V^{\perp\}?[/mm]
>
> Es gibt die Vermutung, dass das allgemein so ist, für alle
> n...
> Auf jeden Fall soll es wohl für n=3 passen.
>
> Doch wie beweise ich das?
Sei $W$ ein nicht-trivialer invarianter UVR von [mm] $V^\perp$. [/mm] Sei $w [mm] \in [/mm] W$. Wir muessen nun zeigen, dass der Spann von [mm] $S_n \cdot [/mm] w$ gleich [mm] $V^\perp$ [/mm] ist: dann folgt $W = [mm] V^\perp$.
[/mm]
Sei [mm] $\phi(w)$ [/mm] die Anzahl der Koordinaten von $w$, die nicht 0 sind. Es reicht zu zeigen, dass es einen Vektor $v$ in [mm] $Span(S_n \cdot [/mm] w)$ gibt mit [mm] $\phi(v) [/mm] = 2$: diesen kann man dann zu [mm] $(\lambda, [/mm] 0, [mm] \dots, [/mm] 0, [mm] -\lambda)$ [/mm] und somit zu $(1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0, -1)$ transformieren, und damit alle Vektoren $(0, [mm] \dots, [/mm] 0, 1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0, -1)$ bekommen, welche alle zusammen eine Basis von [mm] $V^\perp$ [/mm] bilden.
Angenommen, [mm] $\phi(w) [/mm] > 2$. Ziel ist es zu zeigen, dass man in [mm] $Span(S_n \cdot [/mm] w)$ einen nicht-trivialen Vektor $v$ finden kann mit $phi(v) < phi(w)$. Das kann man solange machen, bis man [mm] $\phi(v) \le [/mm] 2$ hat (und somit [mm] $\phi(v) [/mm] = 2$), und dann wie oben weitermachen.
Sei $w = [mm] (w_1, \dots, w_n)$. [/mm] Nun kann nicht [mm] $w_1 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] w_n$ [/mm] sein, da $w [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $\sum w_i [/mm] = 0$ ist. Angenommen, es gilt [mm] $w_i [/mm] = [mm] \pm w_j$ [/mm] fuer alle $i, j$. Dann kann man den Vektor durch die [mm] $S_n$-Aktion [/mm] umordnen zu [mm] $(w_1, -w_1, w_3, -w_3, \dots)$ [/mm] und zu [mm] $(w_1, -w_1, -w_3, w_3, \dots)$. [/mm] Addiert man die zusammen, bekommt man $v = (2 [mm] w_1, [/mm] -2 [mm] w_1, [/mm] 0, 0, [mm] \dots)$. [/mm] Also hat man [mm] $\phi(v) [/mm] < [mm] \phi(w)$ [/mm] und $v [mm] \neq [/mm] 0$.
Gibt es nun $i, j$ mit [mm] $w_i \neq \pm w_j$, [/mm] so kann man ohne Einschraenkung $i = 1, j = 2$ bekommen und man hat die Vektoren [mm] $(w_1, w_2, \dots)$ [/mm] und [mm] $(w_2, w_1, \dots)$ [/mm] in $W$. Da die Matrix [mm] $\pmat{ w_1 & w_2 \\ w_2 & w_1 }$ [/mm] invertierbar ist, gibt es also [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] so dass [mm] $\lambda (w_1, w_2, \dots) [/mm] + [mm] \mu (w_2, w_1, \dots) [/mm] = (0, 1, [mm] \dots) [/mm] =: v$ ist. Auch hier hat man [mm] $\phi(v) [/mm] < [mm] \phi(w)$ [/mm] und $v [mm] \neq [/mm] 0$.
LG Felix
|
|
|
|
