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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Cooler22 |
| Aufgabe | Zerlege die Folgenden Polynome über den angegebenen Körpern in ihre irreduziblen Faktoren:
(a) [mm] f=x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IQ[x] [/mm] und [mm] \IF_{p}[x] [/mm] für p=2,3,5,17
(b) [mm] f=x^{4}+nx^{3}+x^{2}+x+1 [/mm] in [mm] \IQ[x] [/mm] (in Abhängigkeit von n [mm] \in \IZ) [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mit der obigen Aufgabe so meine Probleme.
Mein Ansatz für die a.) sieht folgendermaßen aus:
Zu (a) [mm] f=x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IQ[x] [/mm] ist irreduzibel, da gilt:
[mm] 0=x^{4}+1 [/mm] => [mm] x^{4}=-1
[/mm]
f hat daher seine Nullstellen in C, aber nicht in Q.
Daher ist f in [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel.
Für [mm] f=x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IF_{2} [/mm] gilt:
[mm] f(1)=1^{4}+1=0
[/mm]
Daher gilt: [mm] f=x^{4}+1 =(x+1)^{4}, [/mm] also ist x+1 der irreduzible Faktor.
Für [mm] f=x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IF_{3} [/mm] gilt:
[mm] f=x^{4}+1=(x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1)
[/mm]
Für [mm] f=x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IF_{5} [/mm] gilt:
[mm] f=x^{4}+1=(x^{2}+2)(x^{2}+3)
[/mm]
Für [mm] f=x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IF_{17} [/mm] gilt:
Da habe ich die Nullstellen 7,8,9 und 15 gefunden. Also gilt:
[mm] f=x^{4}+1=(x-7)(x-8)(x-9)(x-15)=(x+15)(x+9)(x+8)(x+2)
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Zu der (b) Ich konnte nicht die Nullstellen des Polynoms berechnen.
Aber ob die existieren, hängt ja von dem n ab.
Wie gehe ich hier vor?
Ich wäre wirklich für jede Hilfe dankbar.
Gruß Cooler
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zerlege die Folgenden Polynome über den angegebenen
> Körpern in ihre irreduziblen Faktoren:
>
> (a) [mm]f=x^{4}+1[/mm] in [mm]\IQ[x][/mm] und [mm]\IF_{p}[x][/mm] für p=2,3,5,17
> (b) [mm]f=x^{4}+nx^{3}+x^{2}+x+1[/mm] in [mm]\IQ[x][/mm] (in Abhängigkeit
> von n [mm]\in \IZ)[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe mit der obigen Aufgabe so meine Probleme.
>
> Mein Ansatz für die a.) sieht folgendermaßen aus:
>
> Zu (a) [mm]f=x^{4}+1[/mm] in [mm]\IQ[x][/mm] ist irreduzibel, da gilt:
> [mm]0=x^{4}+1[/mm] => [mm]x^{4}=-1[/mm]
> f hat daher seine Nullstellen in C, aber nicht in Q.
> Daher ist f in [mm]\IQ[x][/mm] irreduzibel.
Vorsicht: das Argument mit den Nullstellen funktioniert nur bei Polynomen von Grad 2 oder 3. Hier geht es also nicht.
> Für [mm]f=x^{4}+1[/mm] in [mm]\IF_{2}[/mm] gilt:
> [mm]f(1)=1^{4}+1=0[/mm]
> Daher gilt: [mm]f=x^{4}+1 =(x+1)^{4},[/mm]
Daher folgt erstmal nur, dass [mm] $x^4 [/mm] - 1 = (x + 1) [mm] \cdot [/mm] g$ ist fuer ein passendes Polynom $g$ von Grad 3. Rechne doch einfach $(x + [mm] 1)^4$ [/mm] aus, dann siehst du dass $f$ von dieser Form ist.
> Für [mm]f=x^{4}+1[/mm] in [mm]\IF_{3}[/mm] gilt:
> [mm]f=x^{4}+1=(x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1)[/mm]
Sind die beiden Faktoren denn irreduzibel?
> Für [mm]f=x^{4}+1[/mm] in [mm]\IF_{5}[/mm] gilt:
> [mm]f=x^{4}+1=(x^{2}+2)(x^{2}+3)[/mm]
Sind die beiden Faktoren denn irreduzibel?
> Für [mm]f=x^{4}+1[/mm] in [mm]\IF_{17}[/mm] gilt:
> Da habe ich die Nullstellen 7,8,9 und 15 gefunden. Also
> gilt:
> [mm]f=x^{4}+1=(x-7)(x-8)(x-9)(x-15)[/mm]
Wenn deine Nullstellen stimmen, dann ist das korrekt.
> [mm]=(x+15)(x+9)(x+8)(x+2)[/mm]
Die +15 da stimmt sicher nicht.
> Zu der (b) Ich konnte nicht die Nullstellen des Polynoms
> berechnen.
Nur weil es in [mm] $\IQ$ [/mm] keine Nullstellen hat, heisst es noch lange nicht, dass es nicht reduzibel ist.
Allerdings: wenn es eine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] hat, dann muss diese bereits in [mm] $\IZ$ [/mm] sein und ein Teiler von 1; es bleiben also nur [mm] $\pm [/mm] 1$. Das kannst du leicht ueberpruefen: dann findest du (bis zu) zwei $n$ bei denen das Polynom nicht irreduzibel ist (naemlich fuer $1$ und $-1$ jeweils ein $n$).
> Aber ob die existieren, hängt ja von dem n ab.
> Wie gehe ich hier vor?
Wenn du Nullstellen ausschliessen kannst, dann kannst du ja versuchen es als Produkt zweier Polynome von Grad 2 zu schreiben. (Diese muessen Koeffizienten in [mm] $\IZ$ [/mm] haben -- weisst du warum? Damit kannst du sie auch gleich als normiert ansehen.) Mit diesem Ansatz kannst du versuchen, Faktoren zu finden bzw. zu zeigen, dass es keine Faktoren gibt.
LG Felix
[mm] \
[/mm]
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