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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Lilyon |
| Aufgabe | | Wählen ein irreduzibles Polynom f vom Grad 3 über Z2 und konstruieren Sie mit Hilfe von f einen Körper mit 8 Elementen. Geben Sie hierzu die Additions- und die Multiplikationstafel an. |
f = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] +1 als Beispiel.
Ich weiß die 8 Elementen, da ich die Lösung habe.Jetzt keine Ahnung wie hat man die herrausgefunden.
die 8 Elementen sind:
0; 1; x; x+1; [mm] x^2 [/mm] ; [mm] x^2 [/mm] +1 ; [mm] x^2 [/mm] +x ; [mm] x^2 [/mm] + x +1
Kann jemand mir einen Gefallen tun? Danke schön vorab!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wählen ein irreduzibles Polynom f vom Grad 3 über Z2 und
> konstruieren Sie mit Hilfe von f einen Körper mit 8
> Elementen. Geben Sie hierzu die Additions- und die
> Multiplikationstafel an.
> f = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] +1 als Beispiel.
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> Ich weiß die 8 Elementen, da ich die Lösung habe.Jetzt
> keine Ahnung wie hat man die herrausgefunden.
>
> die 8 Elementen sind:
>
> 0; 1; x; x+1; [mm]x^2[/mm] ; [mm]x^2[/mm] +1 ; [mm]x^2[/mm] +x ; [mm]x^2[/mm]
> + x +1
>
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> Kann jemand mir einen Gefallen tun? Danke schön vorab!
Hallo Lilyon,
die gesuchten Elemente sollten bezüglich f "reduzierte"
Polynome sein. Man kann sie also unter den Polynomen
bis zum maximalen Grad 2 (=Grad(f)-1) suchen.
Die Null und die Eins müssten sicher dabei sein, weil
sie zu jedem Körper gehören müssen. Dann kann man
verwenden, dass zu je zwei beliebigen Elementen eines
Körpers auch die Summe und das Produkt (hier natürlich
immer modulo f reduziert) dazu gehören müssen.
Man kann dies hier z.B. so machen, dass man zur
Darstellung aller "Basispolynome" nur die Koeffizienten
0 oder 1 benützt (also keine negativen und keine größer
als 1). Die Basispolynome sind hier genau die Polynome
[mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2
[/mm]
wobei man für jeden der drei Koeffizienten [mm] a_0, a_1, a_2
[/mm]
jeweils die Auswahl hat, Null oder Eins zu nehmen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Lilyon |
| Aufgabe | | g = [mm] x^2 [/mm] +1 ist irreduzibel in F3[x]. |
Danke schön für den Antwort.Zu sicher sein habe ich ein anderes Beispiel gefunden. Könntest Du schauen ob es richtig ist.
Für das Beispiel g irreduzibel in F3[x] sind die gesuchten Elemente:
0 ; 1 ; 2 ; x +1 ; x+2 ; x ; 2x ; 2x +1 ; 2x +2
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> g = [mm]x^2[/mm] +1 ist irreduzibel in F3[x].
> Danke schön für die Antwort. Um sicher zu sein habe ich ein
> anderes Beispiel gefunden. Könntest Du schauen ob es
> richtig ist.
>
> Für das Beispiel g irreduzibel in F3[x] sind die gesuchten
> Elemente:
> 0 ; 1 ; 2 ; x +1 ; x+2 ; x ; 2x ; 2x +1 ; 2x +2
Hallo Lilyon,
soweit ich sehe, sollte dies stimmen. Der wesentliche
Teil der Aufgabe kommt aber noch: Additions- und
Multiplikationstabelle aufstellen (und daran die Körper-
eigenschaften bewundern ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Di 06.10.2009 | | Autor: | Lilyon |
Große Dank!
Jetzt verstehe ich den Thema. Die Addition- und Multiplikationstafel kann ich schon. Noch mal vielen Danke:)))
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> Großen Dank!
> Jetzt verstehe ich das Thema. Die Additions- und
> Multiplikationstafel kann ich schon. Noch mal vielen
> Dank:)))
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gern geschehen !
Gruß
Al
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