Irreduzibles Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | | Ich soll die irreduzible Polynome von Grad 2 in [mm] $\mathbb{F}_5[X]$ [/mm] finden. |
Zu erst möchte ich gerne wissen, ob meine Vorstellung von Irreduziblen Polynome korrekt ist.
1. die lassen sich nicht in linearen Faktoren zerlegen.
2. wenn man Polynomendivision führt bleibt immer ein Rest übrig.
was bedeutet eigentlich in [mm] $\mathbb{F}_5[X]$?
[/mm]
kann mir jemand die Irred Polynome von Grad 2 in [mm] $\mathbb{F}_3[X]$ [/mm] anhand eines Beispiel erklären?
Danke im Voraus.
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Hallo Nadia...,
> Ich soll die irreduzible Polynome von Grad 2 in
> [mm]\mathbb{F}_5[X][/mm] finden.
> Zu erst möchte ich gerne wissen, ob meine Vorstellung von
> Irreduziblen Polynome korrekt ist.
>
> 1. die lassen sich nicht in linearen Faktoren zerlegen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. wenn man Polynomendivision führt bleibt immer ein Rest
> übrig.
>
> was bedeutet eigentlich in [mm]\mathbb{F}_5[X][/mm]?
Das ist der Polynomring über dem Körper [mm]\IF_5[/mm], darin sind also Polynome mit den Koeffizienten [mm]\overline 0, \overline 1, \overline 2, \overline 3, \overline 4[/mm]
>
> kann mir jemand die Irred Polynome von Grad 2 in
> [mm]\mathbb{F}_3[X][/mm] anhand eines Beispiel erklären?
Na, das kriegst du selbst hin.
Bedenke, dass ein Polynom 2.Grades irred. ist, genau dann, wenn es keine Nullstellen hat!
>
> Danke im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen dank für die Antwort.
Ich versuche es jetzt mit Grad 2 $ [mm] \mathbb{F}_3[X] \in \mathbb{Q}[x]$.
[/mm]
Das sind alle Polynome mit den Koeffizienten $ [mm] \overline [/mm] 0, [mm] \overline [/mm] 1, [mm] \overline [/mm] 2$, die keine Nullstellen besitzen, mir fällen aber keine ein.
denn x,x+1 usw. habe Nullstellen. Was versteh ich da falsch? so schwer kann es nicht sein :(
Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, mit der man starten soll?
Viele Grüße
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> Vielen dank für die Antwort.
>
> Ich versuche es jetzt mit Grad 2 [mm]\mathbb{F}_3[X] \in \mathbb{Q}[x][/mm].
??????
Wenn schon, dann [mm]\IF_3[X] \subset \IQ[X][/mm]. Naja.
>
> Das sind alle Polynome mit den Koeffizienten [mm]\overline 0, \overline 1, \overline 2[/mm],
> die keine Nullstellen besitzen, mir fällen aber keine
> ein.
Wie wäre es mit [mm]x^2+x+2[/mm]?
> denn x,x+1 usw. habe Nullstellen. Was versteh ich da
> falsch? so schwer kann es nicht sein :(
>
> Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, mit der man starten
> soll?
Alle Polynome aufschreiben und die streichen, die reduzibel sind ^^
Ne so kann man es wirklich machen. Es sind ja nicht gerade viele.
>
>
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen dank für die Antwort.
Die Polynome sind doch
$x, [mm] x+1,x+x^2+1,x+x^3+1,x^2+x^3+1$
[/mm]
[mm] $x+2,x+x^2+2,x+x^3+2,x^2+x^3+2$
[/mm]
Die haben alle Nullstellen, scheinbar sind die Polynome gesucht die keine Nullstellen in Q besitzen,oder?
Wenn das der Fall ist.
Dann sind diese Polynome .
[mm] $x+x^2+1$
[/mm]
[mm] $x+x^3+1$
[/mm]
[mm] $x+x^2+x$
[/mm]
[mm] $x+x^3+2$
[/mm]
[mm] $x^2+x^3+2$
[/mm]
Richtig ?
Viele Grüße
Nadia
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Hallo nochmal,
> Vielen dank für die Antwort.
>
> Die Polynome sind doch
>
> [mm]x, x+1,x+x^2+1,x+x^3+1,x^2+x^3+1[/mm]
>
> [mm]x+2,x+x^2+2,x+x^3+2,x^2+x^3+2[/mm]
> Die haben alle Nullstellen, scheinbar sind die Polynome
> gesucht die keine Nullstellen in Q besitzen,oder?
> Wenn das der Fall ist.
>
> Dann sind diese Polynome .
> [mm]x+x^2+1[/mm]
> [mm]x+x^3+1[/mm]
> [mm]x+x^2+x[/mm]
> [mm]x+x^3+2[/mm]
> [mm]x^2+x^3+2[/mm]
>
> Richtig ?
?? Ich verstehe gar nicht, was du machst...
Du suchst doch nun irred. Polynome vom Grad 2 in [mm]\IF_3[X][/mm], oder sehe ich das falsch?
Was machen da Polynome vom Grad 3 bzw. vom Grad 1 in der Liste?
Das 3.Polynom in der Liste, also [mm]X+X^2+X=X^2+2X[/mm] hat aber doch offensichtlich die Nullstelle [mm]X=0[/mm]
Wieso sollte das also irreduzibel sein?
Du kannst ja direkt [mm]X[/mm] ausklammern ...
Probiere doch systematisch durch.
Schreibe dir mal alle Polynome vom Grad 2 in [mm]\IF_3[X][/mm] hin.
Dann setze [mm]X=0,1,2[/mm] ein und probiere durch.
Behalte diejenigen Polynome, die beim Einsetzen all dieser 3 Werte keine NST liefern
>
>
> Viele Grüße
>
> Nadia
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke noch mal,
also
Ps
Schreibe dir mal alle Polynome vom Grad 2 in $ [mm] \IF_3[X] [/mm] $ hin
>
[mm] $x,x+1,x^2+1,x+x^2+1,x+2,x+x^2+2,x^2+2,x+3,x^2+3,x+x^2+3.
[/mm]
Sind das alle Polynome?
Wieso soll ich für x nur 0,1,2 einsetzen ?
wieso darf ich kein -1 einsetzen?
Viele Grüße
Nadia
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Hallo nochmal,
> Danke noch mal,
>
>
>
> also
> Ps
> Schreibe dir mal alle Polynome vom Grad 2 in [mm]\IF_3[X][/mm] hin
> >
> [mm]$x,x+1,x^2+1,x+x^2+1,x+2,x+x^2+2,x^2+2,x+3,x^2+3,x+x^2+3.[/mm]
> Sind das alle Polynome?
Das erste Polynom [mm]X[/mm] ist doch vom Grad 1 !! Ebenso das zweite [mm]X+1[/mm]
Du hast alle Kombonationen [mm]\alpha X^2+\beta X+\gamma[/mm], wobei [mm]\alpha,\beta,\gamma\in\IF_3[/mm] sind (also [mm]\in\{0,1,2\}[/mm]) und [mm] $\alpha\neq [/mm] 0$
>
> Wieso soll ich für x nur 0,1,2 einsetzen ?
Weil [mm]\IF_3[/mm] nur diese 3 Elemente hat!
> wieso darf ich kein -1 einsetzen?
[mm]-1[/mm] ist in [mm]\IF_3[/mm] dasselbe wie [mm]2[/mm]
>
> Viele Grüße
>
>
> Nadia
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Di 26.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ich glaube jetzt habe ich alles verstanden, mein größtes Problem lag darin die mathematischen Symbole zu verstehen.
Also
alle mögliche Kombinationen sind
[mm] $x^2,x^2+1,x^2+2,x+x^2+1,x+x^2+2,x^2+2$
[/mm]
[mm] $2x^2,2x^2+1,2x^2+2,2x+x^2+1,x+2x^2+1,2x+x^2+2$
[/mm]
Somit sind die Irreduzible Polynome
[mm] $x^2+1,x+x^2+2,2x^2+2,2x+x^2+1,x+2x^2+1,2x+x^2+2$
[/mm]
Viele Grüße
Nadia
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Hallo Nadia,
> Ich glaube jetzt habe ich alles verstanden, mein größtes
> Problem lag darin die mathematischen Symbole zu verstehen.
Hm. Sicher? Es geht hier um Restklassen.
> Also
> alle mögliche Kombinationen sind
>
> [mm]x^2,x^2+1,x^2+2,x+x^2+1,x+x^2+2,x^2+2[/mm]
> [mm]2x^2,2x^2+1,2x^2+2,2x+x^2+1,x+2x^2+1,2x+x^2+2[/mm]
Die übliche lexikalische Anordnung listet die Potenzen in absteigender Reihenfolge, also z.B. [mm] x^2+x+1 [/mm] statt [mm] x+x^2+1. [/mm] Und alle möglichen Kombinationen sind das sicher nicht. Das wären ja insgesamt 27 (oder besser: 26, noch besser: 24, noch viel besser: 18).
> Somit sind die Irreduzible Polynome
> [mm]x^2+1,x+x^2+2,2x^2+2,2x+x^2+1,x+2x^2+1,2x+x^2+2[/mm]
Auch nicht. Für x=2 ist [mm] 2x+x^2+2=0. [/mm] Auch sonst... schau besser noch einmal drüber.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke für deine Antwort,
Wieso gilt für x=2 $ [mm] 2x+x^2+2=0 [/mm] $
Es ist doch 10mod3=1,oder nicht?
Viele Grüße Nadia
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Hallo Nadia..,
> Danke für deine Antwort,
>
>
> Wieso gilt für x=2 [mm]2x+x^2+2=0[/mm]
> Es ist doch 10mod3=1,oder nicht?
Ja, das ist so.
Mein Vorredner meinz wahrscheinlich das Polynom [mm]x^{2}+2x+1[/mm].
>
>
> Viele Grüße Nadia
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Mi 27.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Mein Vorredner meinz wahrscheinlich das Polynom
> [mm]x^{2}+2x+1[/mm].
Ja, das meinte ich. Danke für die Korrektur.
Man könnte es übrigens auch als binomische Formel erkennen und so als irreduzibel entlarven.
Auch [mm] 2x^2+2 [/mm] sieht doch direkt reduzibel aus...
Grüße
reverend
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