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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 05.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Sei f: [mm] R^n [/mm] -> [mm] R^n [/mm] eine Isometrie mit det(f)=1
Zeigen sie das gilt:
[mm] det(f(a_1),...f(a_n))=det(a_1,...,a_n)
[/mm]
für für [mm] a_i \in R^n [/mm] beliebig
b) Zeigen Sie, für n=3 gilt
f(a x b) = f(a) x f(b)
(Anm: x:=Kreuzprodukt)
c) Sei weiterhin n=3 und B={e1,e2,e3} eine Basis, f(2,1,2)=(0,3,0) und f(0,-3,0)=(2,-1,-2). Gegen Sie die darstellende Matrix von f an. |
Hallo,
ich habe so meine probleme mit dem Begriff Isometrie
alles was ich weiß ist <x,y>=<f(x),f(y)> und f(x)=A*x so ist [mm] A*A^T=E_n
[/mm]
und [mm] A^T=A^{-1}
[/mm]
Ansatz zu a)
ich bin mir nicht sicher ob der überhaupt geht
[mm] det(a_1,...,a_n)=det(Id)=det(E_n)
[/mm]
[mm] det(E_n)=det(A*A^T)=det(A)*det(A^T)=det(A)*det(A)=1*det(A)
[/mm]
[mm] =>det(E_n)=det(A)
[/mm]
zur b)
mit a) (was ich annehme das es stimmt)
a x b = c
det(f(a),f(b),f(c))=det(a,b,c)
Das hätte es was mit den Spatprodukt zu tun, aber kann man daraus folgern das die Isometrie, das Vektorprodukt "erhält"?
zu c)
Lieder überhaupt keine Ahnung, es gilt ja [mm] A^2=Id, [/mm] aber wie komme ich auf die einzelen Spalten von A?
Vielen Dank für tipps!
Gruß Tom
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moin,
> Ansatz zu a)
>
> ich bin mir nicht sicher ob der überhaupt geht
>
> [mm]det(a_1,...,a_n)=det(Id)=det(E_n)[/mm]
>
> [mm]det(E_n)=det(A*A^T)=det(A)*det(A^T)=det(A)*det(A)=1*det(A)[/mm]
>
> [mm]=>det(E_n)=det(A)[/mm]
Du weißt $det(A) = 1$, also warum rechnest du hier?
Weißt du, dass die Einheitsmatrix ebenfalls Determinante 1 hat?
Da du das $f$ bereits in eine Matrix übersetzt hast versuche es mal so:
Es ist [mm] $(f(a_1),\ldots ,f(a_n))=(Aa_1,\ldots [/mm] , [mm] Aa_n) [/mm] = [mm] A(a_1,\ldots [/mm] , [mm] a_n)$.
[/mm]
Mach dir diese Gleichheiten klar, zeige sie/rechne sie nach.
Das gibt dir dann eine Möglichkeit die Determinante von [mm] $(f(a_1),\ldots ,f(a_n))$ [/mm] wirklich auszurechnen.
> zur b)
> mit a) (was ich annehme das es stimmt)
> a x b = c
>
> det(f(a),f(b),f(c))=det(a,b,c)
> Das hätte es was mit den Spatprodukt zu tun, aber kann man
> daraus folgern das die Isometrie, das Vektorprodukt
> "erhält"?
Man sollte besser nicht sagen, dass $f$ das Vektorprodukt erhält, denn das wäre die Aussage $f(a) x f(b) = a x b$, was du ja nicht zeigen sollst.
Setz doch einfach mal mit beliebigen Vektoren $a = [mm] (a_1,a_2,a_3)$ [/mm] an, rechne das Vektorprodukt aus und wende $f$ bzw. die Matrix $A$ drauf an, dann bist du zumindest schonmal einen Schritt schlauer.
> zu c)
>
> Lieder überhaupt keine Ahnung, es gilt ja [mm]A^2=Id,[/mm] aber wie
> komme ich auf die einzelen Spalten von A?
>
Hmm. In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren.
Nimm dir also eine Basis (zB ergänze dir deine bereits gegebenen Vektoren zu einer Basis), dann hast du bereits zwei deiner drei Spalten. Die dritte Spalte kannst du dann mit der Bedingung [mm] $A^2 [/mm] = Id$ versuchen zu berechnen.
Wenn du das getan hast vergiss nicht, dass du auch noch einen Basiswechsel auf die Standardbasis $B$ durchführen musst, denn so wie ich die Aufgabe sehe ist die Matrix bezüglich der Standardbasis zu verstehen.
Aber versuch das ganze erstmal Schritt für Schritt und wenn du irgendwo nicht weiterkommst frag ruhig. ;)
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:12 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
> moin,
>
>
> > Ansatz zu a)
> >
> > ich bin mir nicht sicher ob der überhaupt geht
> >
> > [mm]det(a_1,...,a_n)=det(Id)=det(E_n)[/mm]
> >
> > [mm]det(E_n)=det(A*A^T)=det(A)*det(A^T)=det(A)*det(A)=1*det(A)[/mm]
> >
> > [mm]=>det(E_n)=det(A)[/mm]
>
> Du weißt [mm]det(A) = 1[/mm], also warum rechnest du hier?
> Weißt du, dass die Einheitsmatrix ebenfalls Determinante
> 1 hat?
>
>
> Da du das [mm]f[/mm] bereits in eine Matrix übersetzt hast versuche
> es mal so:
> Es ist [mm](f(a_1),\ldots ,f(a_n))=(Aa_1,\ldots , Aa_n) = A(a_1,\ldots , a_n)[/mm].
>
> Mach dir diese Gleichheiten klar, zeige sie/rechne sie
> nach.
> Das gibt dir dann eine Möglichkeit die Determinante von
> [mm](f(a_1),\ldots ,f(a_n))[/mm] wirklich auszurechnen.
>
Vielen Dank!
Das mit [mm] (A*a_1,...A*a_n)=A*(a_1,...,a_n) [/mm] hab ich nicht gewusst und auch noch nirgends gelesen, habs aber jetzt für beliebge n bewiesen :)
Und jetzt ist es ja sofort klar das es gilt.
>
> > zur b)
> > mit a) (was ich annehme das es stimmt)
> > a x b = c
> >
> > det(f(a),f(b),f(c))=det(a,b,c)
> > Das hätte es was mit den Spatprodukt zu tun, aber kann man
> > daraus folgern das die Isometrie, das Vektorprodukt
> > "erhält"?
>
> Man sollte besser nicht sagen, dass [mm]f[/mm] das Vektorprodukt
> erhält, denn das wäre die Aussage [mm]f(a) x f(b) = a x b[/mm],
> was du ja nicht zeigen sollst.
> Setz doch einfach mal mit beliebigen Vektoren [mm]a = (a_1,a_2,a_3)[/mm]
> an, rechne das Vektorprodukt aus und wende [mm]f[/mm] bzw. die
> Matrix [mm]A[/mm] drauf an, dann bist du zumindest schonmal einen
> Schritt schlauer.
>
Das verstehe ich nicht ganz wieso ich allgemein das Kreuzprodukt ausrechnen soll?
ich weiß das a x b = [mm] \vektor{ \\ \\}
[/mm]
Wenn jetzt die geforderte Gleichheit gelten würde, wäre:
(Anm: < , > = Std. Skalarprodukt)
f(a x b)= f( [mm] \vektor{ \\ \\}) [/mm] = [mm] \vektor{ \\ \\} [/mm]
f(x)=A.x
f( [mm] \vektor{ \\ \\}) [/mm] = [mm] \vektor{*a_{11}+*a_{21}+*a_{31} \\ *a_{21}+*a_{22}+*a_{32}\\*a_{31}+*a_{32+}*a_{33}}
[/mm]
Ich weiß jetzt aber nicht wie ich die Eigenschaft einer Isometrie einbringne kann, damit das gilt?. Wenn ich jetzt noch f(a) xf(b) wäre der Term etwas lang...
> > zu c)
> >
> > Lieder überhaupt keine Ahnung, es gilt ja [mm]A^2=Id,[/mm] aber wie
> > komme ich auf die einzelen Spalten von A?
> >
>
> Hmm. In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen immer die
> Bilder der Basisvektoren.
> Nimm dir also eine Basis (zB ergänze dir deine bereits
> gegebenen Vektoren zu einer Basis), dann hast du bereits
> zwei deiner drei Spalten. Die dritte Spalte kannst du dann
> mit der Bedingung [mm]A^2 = Id[/mm] versuchen zu berechnen.
> Wenn du das getan hast vergiss nicht, dass du auch noch
> einen Basiswechsel auf die Standardbasis [mm]B[/mm] durchführen
> musst, denn so wie ich die Aufgabe sehe ist die Matrix
> bezüglich der Standardbasis zu verstehen.
> Aber versuch das ganze erstmal Schritt für Schritt und
> wenn du irgendwo nicht weiterkommst frag ruhig. ;)
>
also basis wäre ja z.b [mm] B:={\vektor{2 \\ 1 \\2},\vektor{0 \\ -3\\0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}
[/mm]
jetzt stehen in den Spalten die Basisbilder also:
[mm] A:=\pmat{ 0 & 2 & a \\ -3 & -1 & b \\ 0 & -2 & c }
[/mm]
[mm] A^2 [/mm] wäre jetz bei mir
[mm] \pmat{-6 & -2-2a & ac+2b \\3 & -5-2b & bc-3a-b \\6 & 2-2c & c^2-2b }
[/mm]
...hier kann gar nicht die Id rauskommen. Was mach ich falsch?
Vielen Dank für Tipps!
gruß tom
>
> lg
>
> Schadow
>
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| Aufgabe | | c) Sei weiterhin n=3 und B={e1,e2,e3} eine Basis, f(2,1,2)=(0,3,0) und f(0,-3,0)=(2,-1,-2). Gegen Sie die darstellende Matrix von f an. |
> > > zu c)
> > In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen immer die
> > Bilder der Basisvektoren.
> > Nimm dir also eine Basis (zB ergänze dir deine bereits
> > gegebenen Vektoren zu einer Basis), dann hast du bereits
> > zwei deiner drei Spalten. Die dritte Spalte kannst du dann
> > mit der Bedingung [mm]A^2 = Id[/mm] versuchen zu berechnen.
> > Wenn du das getan hast vergiss nicht, dass du auch noch
> > einen Basiswechsel auf die Standardbasis [mm]B[/mm] durchführen
> > musst, denn so wie ich die Aufgabe sehe ist die Matrix
> > bezüglich der Standardbasis zu verstehen.
> also basis wäre ja z.b [mm]B:=\{b_1:=\vektor{2 \\ 1 \\2},b_2:=\vektor{0 \\ -3\\0},b_3:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]
Hallo,
kann man so machen, wenn man unbedingt will.
Aber das kommt mir nicht sehr praktisch vor.
>
> jetzt stehen in den Spalten
In den Spalten wovon?
Da müßtest Du Dich erstmal entscheiden.
In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis?
In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der Basis B?
Oder in den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl. der Basis B im Start- und der Standardbasis im Zielraum?
Abgesehen von einem kl. Flüchtigkeitsfehler tust Du das dritte,
und das ist nicht sehr praktisch:
Du willst sicher mit der Determinante von f arbeiten (Vorgabe det(f)=1), und das ist die Determinante der Darstellungsmatrix bzgl. einer Basis.
Und noch etwas: Die Darstellungsmatrix einer Isometrie bzgl. einer ONB ist eine orthogonale Matrix - aber das gilt nicht für beliebige Basen.
Nicht ganz klar ist mir im Moment, wie Du auf [mm] A^2=E [/mm] kommst - aber das mag ja am Wetter liegen.
LG Angela
8
> die Basisbilder also:
>
> [mm]A:=\pmat{ 0 & 2 & a \\ -3 & -1 & b \\ 0 & -2 & c }[/mm]
>
> [mm]A^2[/mm] wäre jetz bei mir
>
> [mm]\pmat{-6 & -2-2a & ac+2b \\3 & -5-2b & bc-3a-b \\6 & 2-2c & c^2-2b }[/mm]
>
> ...hier kann gar nicht die Id rauskommen. Was mach ich
> falsch?
>
> Vielen Dank für Tipps!
>
> gruß tom
>
> >
> > lg
> >
> > Schadow
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:45 So 07.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
> c) Sei weiterhin n=3 und B={e1,e2,e3} eine Basis,
> f(2,1,2)=(0,3,0) und f(0,-3,0)=(2,-1,-2). Gegen Sie die
> darstellende Matrix von f an.
>
> > > > zu c)
>
> > > In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen immer die
> > > Bilder der Basisvektoren.
> > > Nimm dir also eine Basis (zB ergänze dir deine
> bereits
> > > gegebenen Vektoren zu einer Basis), dann hast du
> bereits
> > > zwei deiner drei Spalten. Die dritte Spalte kannst du
> dann
> > > mit der Bedingung [mm]A^2 = Id[/mm] versuchen zu berechnen.
> > > Wenn du das getan hast vergiss nicht, dass du auch
> noch
> > > einen Basiswechsel auf die Standardbasis [mm]B[/mm]
> durchführen
> > > musst, denn so wie ich die Aufgabe sehe ist die
> Matrix
> > > bezüglich der Standardbasis zu verstehen.
>
> > also basis wäre ja z.b [mm]B:=\{b_1:=\vektor{2 \\ 1 \\2},b_2:=\vektor{0 \\ -3\\0},b_3:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> kann man so machen, wenn man unbedingt will.
> Aber das kommt mir nicht sehr praktisch vor.
>
>
> >
> > jetzt stehen in den Spalten
>
> In den Spalten wovon?
> Da müßtest Du Dich erstmal entscheiden.
> In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der
> Standardbasis?
> In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der Basis B?
> Oder in den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl. der Basis
> B im Start- und der Standardbasis im Zielraum?
>
> Abgesehen von einem kl. Flüchtigkeitsfehler tust Du das
> dritte,
> und das ist nicht sehr praktisch:
> Du willst sicher mit der Determinante von f arbeiten
> (Vorgabe det(f)=1), und das ist die Determinante der
> Darstellungsmatrix bzgl. einer Basis.
>
Vielen Dank für deine Antwort,
ich habe anscheinend sehr viel missverstanden.
Mein Kochrezept:
ich habe ja zwei vektoren gegeben, und laut b) gilt f(axb)=f(a) x f(b) = c
das heißt ich hab jetzt einen dritten Vektor der auf den ersten beiden orthogonal steht, jetzt mach ich das gleiche wieder mit f(bxc)= f(b) x f(c) = d und hab jetzt eine Orthogonalbasis mit {b, axb, bxc} falls ich die normiere kann ich doch die bilder der Basisvektoren als MatrixSpalten nehmen
also
[mm] \pmat{ | & | & |\\ \bruch{f(b)}{\vmat{f(b)}} & \bruch{f(axb)}{\vmat{f(axb)}} & \bruch{f(bxc)}{\vmat{f(bxc)}} \\ | & | & |}
[/mm]
ist das praktischer?
> Und noch etwas: Die Darstellungsmatrix einer Isometrie
> bzgl. einer ONB ist eine orthogonale Matrix - aber das gilt
> nicht für beliebige Basen.
>
> Nicht ganz klar ist mir im Moment, wie Du auf [mm]A^2=E[/mm] kommst
> - aber das mag ja am Wetter liegen.
>
Ich bin davon ausgegangen das [mm] A^T=A [/mm] ist, es gilt [mm] A^T*A=A*A=E
[/mm]
Aber das stimmt nicht, es gilt nur [mm] A^T*A=E
[/mm]
> LG Angela
>
>
>
>
> 8
> > die Basisbilder also:
> >
> > [mm]A:=\pmat{ 0 & 2 & a \\ -3 & -1 & b \\ 0 & -2 & c }[/mm]
> >
> > [mm]A^2[/mm] wäre jetz bei mir
> >
> > [mm]\pmat{-6 & -2-2a & ac+2b \\3 & -5-2b & bc-3a-b \\6 & 2-2c & c^2-2b }[/mm]
>
> >
> > ...hier kann gar nicht die Id rauskommen. Was mach ich
> > falsch?
> >
> > Vielen Dank für Tipps!
> >
> > gruß tom
> >
> > >
> > > lg
> > >
> > > Schadow
> >
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 09.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 08.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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