Isometrie und Spiegelung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Do 15.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man versehe den Raum [mm] C^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt <,>;
eine Abbildung [mm] \psi \in End_C [/mm] (V) sei gegeben durch
[mm] A^{\psi} (e_1,e_2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & i \\ i & 1 }
[/mm]
Man zeige:
a) [mm] \psi [/mm] ist Isometrie
b) Man bestimme eine Matrix C [mm] \in [/mm] U(2,C) mit [mm] \sigma(C)^t [/mm] A C = Diagonalmatrix
c) Man beschreibe [mm] \psi [/mm] als Produkt von zwei Spiegelungen. |
Guten Abend!
also bei der a) müsste doch gelten wenn [mm] \psi [/mm] Isometrie ist:
[mm] A^t \overline{A} [/mm] = E.
d.h. [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } \pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 }= \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 2 & 0 \\0 & 2 } [/mm] was hab ich falsch gemacht, warum bekomm ich nicht die einheitsmatrix raus?
bei Teil b) hab ich das charakteristische Polynom berechnet:
[mm] det(\pmat{ X-\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-i}{\wurzel{2}} \\\bruch{-i}{\wurzel{2}} & X - \bruch{1}{\wurzel{2}}}) [/mm]
= [mm] (X-\bruch{1}{\wurzel{2})²}- \bruch{i²}{2} [/mm]
= X² - [mm] \bruch{2}{\wurzel{2}} [/mm] X + 1
und jetzt weiß ich leider nicht wie ich davon Nullstellen herausbekomm??? weil ohne die kann ich ja den ganzen rest der aufgabe nicht lösen...
würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiterhelfen würdet!!
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:17 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hi riley!
bei der a) hast du ein [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] unterschlagen. dieser faktor kommt doch von beiden matrizen... dann kommt auch die einheitsmatrix raus...
zur b):
du hast richtig gerechnet: [mm] \chi(x)=x^{2}-\wurzel{2}x+1 [/mm] und die nullstellen kannst du doch ganz normal mit der lösungsformel ausrechen! du bekommst zwar eine [mm] \wurzel{-2} [/mm] aber die kann man ja zu [mm] i\wurzel{2} [/mm] umformen...
ich hoffe, ich konnte dir helfen, auch wenn die zeit schon abgelaufen war...
lieben gruß,
Fulla
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