Isomorph. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K Körper, V,W K-Räume, dimV=dimW< [mm] \infty
[/mm]
Zeigen sie. V [mm] \cong [/mm] W |
Hllo, hierzu habe ich mir eine Abb. [mm] \mu [/mm] gesetzt mit:
[mm] \mu: V\rightarrow [/mm] W ; [mm] v_{i} \rightarrow w_{i} [/mm] , i [mm] \in [/mm] {1,...,n}
Wobei [mm] (v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{n}) [/mm] basis von V und [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] Basis in W ist.
Nun wollte ich zeigen [mm] Kern(\mu)={0}. [/mm] Habe ich aber nicht hinbekommen. (Tipp?)
Also habe ich gezeigt [mm] \mu [/mm] ist surjektiv:
Sei w [mm] \in [/mm] W mit w= [mm] \summe_{i=1}^{n}(c_{i}w_{i}) (c_{i}\in [/mm] K)
D.g. w= [mm] c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n} =c_{1}(v_{1}\mu)+...+c_{1}(v_{1}\mu) [/mm] = [mm] (c_{1}v_{1}+...+c_{1}v_{1})\mu.
[/mm]
Also ex. ein [mm] v\in [/mm] V mit v= [mm] c_{1}v_{1}+...+c_{1}v_{1}, [/mm] sodass [mm] v\mu [/mm] = w.
Injektivität habe ich nun über die Dimensionsformel gefolgert.
Korrekt? (Die Frage die ich eigentlich habe: Kann ich meine Funktion so setzen wie ich es gemacht habe?)
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei K Körper, V,W K-Räume, dimV=dimW< [mm]\infty[/mm]
>
> Zeigen sie. V [mm]\cong[/mm] W
> Hllo, hierzu habe ich mir eine Abb. [mm]\mu[/mm] gesetzt mit:
>
> [mm]\mu: V\rightarrow[/mm] W ; [mm]v_{i} \rightarrow w_{i}[/mm] , i [mm]\in[/mm]
> {1,...,n}
>
> Wobei [mm](v_{1},[/mm] ... , [mm]v_{n})[/mm] basis von V und
> [mm](w_{1},...,w_{n})[/mm] Basis in W ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das kannst du so machen.
> Nun wollte ich zeigen [mm]Kern(\mu)={0}.[/mm] Habe ich aber nicht
> hinbekommen. (Tipp?)
Sei [mm] $v\in [/mm] V, v = [mm] \lambda_{1}v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*v_{n}$ [/mm] mit $f(v) = 0$.
Dann folgt:
$0 = f(v) = [mm] f(\lambda_{1}v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*v_{n}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}*f(v_{1}) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*f(v_{n}) [/mm] = [mm] \lambda_{1}*w_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*w_{n}$.
[/mm]
Damit liegt eine Linearkombination von [mm] w_{i} [/mm] vor, die Null werden soll. Was bedeutet das für die [mm] \lambda_{i} [/mm] ?
Was folgt daraus für das Aussehen von v?
> Also habe ich gezeigt [mm]\mu[/mm] ist surjektiv:
>
> Sei w [mm]\in[/mm] W mit w= [mm]\summe_{i=1}^{n}(c_{i}w_{i}) (c_{i}\in[/mm]
> K)
>
> D.g. w= [mm]c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n} =c_{1}(v_{1}\mu)+...+c_{1}(v_{1}\mu)[/mm]
> = [mm](c_{1}v_{1}+...+c_{1}v_{1})\mu.[/mm]
Das mit dem [mm] \mu [/mm] finde ich ein bisschen seltsam aufgeschrieben, woher kommt das [mm] \mu [/mm] ?
Wir wissen doch nach Definition, dass [mm] w_{i} [/mm] = [mm] f(v_{i}) [/mm] ist.
> Also ex. ein [mm]v\in[/mm] V mit v= [mm]c_{1}v_{1}+...+c_{1}v_{1},[/mm]
> sodass [mm]v\mu[/mm] = w.
>
>
> Injektivität habe ich nun über die Dimensionsformel
> gefolgert.
>
> Korrekt?
Genau, eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, welche dieselbe Dimension haben, ist immer bijektiv, wenn sie injektiv oder surjektiv ist. (Das begründet man, wie du gemacht hast, mit der Dimensionsformel).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Alles klar.
Ps.: das [mm] \mu [/mm] kommt daher, weil ich kein phi , psi gefunden habe. und [mm] \mu [/mm] ist halt meine Funktion.
was bei dir [mm] \mu(x) [/mm] ist, ist bei mir [mm] x\mu [/mm] . (Rechtsschreibweise)
|
|
|
|
