Isomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass jede Gruppe mit vier Elementen isomorph zu einer der
beiden Gruppen G1 oder G2 ist.
G1= [mm] \pmat{ \circ & e &a&b&c \\ e & e&a&b&c \\ a&a&b&c&e \\ b&b&c&e&a \\ c&c&e&a&b }
[/mm]
G2= [mm] \pmat{ \circ & e &a&b&c \\ e & e&a&b&c \\ a&a&e&c&b \\ b&b&c&e&a \\ c&c&b&a&e } [/mm] |
Hallo,
ich habe hier leider keinen Plan, was ich genau zeigen soll...
1. Grp.homo.? f(a [mm] \circ [/mm] b)=f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)
2. das f ist bijektiv
Die zwei Punkte?
Aber jetzt habe ich keine Idee für den Anfang...wenn jemand einen Tipp für mih hat.
|
|
| |
|
moin,
Was du zeigen sollst ist:
Sei $G$ eine (beliebige) Gruppe mit 4 Elementen [mm] $\{e,g_1,g_2,g_3\}$. [/mm] Dann ist $G$ isomorph zu einer deiner beiden Gruppen.
Wie du siehst hab ich hier bereits eines der Elemente $e$ genannt, denn jede Gruppe hat ein (eindeutiges) neutrales Element.
Ist nun $f$ ein Isomorphismus, so muss auf jeden Fall $f(e) = e$ gelten.
Damit hast du effektiv nur noch 3 Elemente zu untersuchen.
Um diese zu untersuchen überlege dir mal wie sie aussehen können.
Als Beispiel mal:
[mm] $g_1^2 [/mm] = e$ oder [mm] $g_1^2 \neq [/mm] e$.
Im zweiten Fall wäre also [mm] $g_1^2 [/mm] = [mm] g_2$ [/mm] oder [mm] $g_1^2 [/mm] = [mm] g_3$ [/mm] und wir sagen mal OBdA, dass [mm] $g_1^2 [/mm] = [mm] g_2$ [/mm] sei (sonst benennen wir die halt um, soll ja nicht stören).
Damit hast du hier schonmal zwei Fälle.
Mit ein paar - wenn du es geschickt anstellst gar nicht so vielen - weiteren Fallunterscheidungen ist es möglich in jedem der Fälle zu sagen "hat die Gruppe diese Form, so ist sie isomorph zu...".
Also mach ein paar geschickte Fallunterscheidungen, bis du einen Isomorphismus angeben kannst.
lg
Schadow
|
|
|
|
