Isomorphe Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Kann mir jemand mit ein paar Isomorphismen aushelfen?
Hier ist mein Problem:
Welche Gruppen sind zueinander isomorph?
[mm] (\IR \backslash [/mm] {0},*)
[mm] (\IR,+)
[/mm]
[mm] (\{z\in \IC | |z|=1\},*)
[/mm]
[mm] (\{r\in \IR | r>0\},*)
[/mm]
[mm] (\IR,+)/(\IZ,+)
[/mm]
Also muss ich ja nur lineare Abb. suchen, welche bij sind, oder?
Wenn eine solche Abb. existiert dann sind die jeweiligen Gruppen isomorph
Wie kann ich jedoch zeige, dass zwei Gruppen nicht zueinander isomorp sind?
mfg Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Floyd!
Geeignete Isomorphismen werden durch
$\begin{array}{ccc} (\IR,+) & \to & (\{r \in \IR\, : \, r > 0\},\cdot) \\[5pt] x & \mapsto & e^x \end{array}$
und
$\begin{array}{ccc} (\IR,+)/(\IZ,+) & \to & (\{z \in \IC\, :\, \vert z \vert = 1\},\cdot) \\[5pt] x & \mapsto & e^{2 \pi i x} \end{array}$
gegeben. Weise das bitte im einzelnen nach! 
Daher gilt auf jeden Fall:
$(\IR,+) \cong (\{r \in \IR\, : \, r>0\},\cdot)$
und
$(\IR,+)/(\IZ,+) \cong (\{z \in \IC\, :\, \vert z \vert = 1,\cdot)$.
Die beiden Isomophieklassen sind aber disjunkt, da es in
$\{z \in \IC\, : \, \vert z \vert = 1\}, \cdot)$
ein Element $z_0$ gibt mit $z_0^2=1$ (also ein idempotentes Element, nämlich $z_0=-1$), dagegen aber etwa in $(\IR,+)$ nicht.
Aus dem gleichen Grund folgt, dass $(\IR \setminus \{0\}, \cdot)$ nicht in die erste Isomorphieklasse gehören kann.
Gehört sie in die zweite? Hmmh, also: $i \in \{z \in \IC\, : \, \vert z \vert = 1\}, \cdot)$ hat die Ordnung $4$. Gibt es in $(\IR \setminus \{0\},\cdot)$ ein Element der Ordnung $4$? 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Erstmals danke für die schnelle Antwort!
Aber eine Frage hätte ich noch:
Warum kann man im letzten Absatz mit der Ordnung argumentieren??
mfg
Floyd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wäre
[mm] $\varphi [/mm] : [mm] (\{z \in \IC\, : \, \vert z \vert =1\},\cdot) \to (\IR \setminus \{0\}, \cdot)$
[/mm]
ein Gruppenisomorphismus, so würde gelten:
[mm] $\varphi(i)^4 [/mm] = [mm] \varphi(i^4) [/mm] = [mm] \varphi(1) [/mm] = 1$
und
[mm] $\varphi(i)^k [/mm] = [mm] \varphi(i^k) \ne [/mm] 1$
für $k=1,2,3$, denn sonst wäre [mm] $\varphi$ [/mm] wegen [mm] $i^k\ne [/mm] 1$ für $i=1,2,3$ nicht injektiv.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:27 Di 16.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Bitte könnte mir schnell jemand helfen!
Wie zeigt man , dass die folgenden Klassen nicht isomorph sind???
[mm] ({z\in \IC | |z|=1},*)
[/mm]
[mm] (\IR,+)
[/mm]
[mm] (\IR [/mm] \ {0},*)
vielen Dank im Vorraus
mfg Floyd
Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Di 16.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Bitte könnte mir schnell jemand helfen!
Wie zeigt man , dass die folgenden Klassen nicht isomorph sind???
[mm] ({z\in \IC | |z|=1},*)
[/mm]
[mm] (\IR,+)
[/mm]
[mm] (\IR [/mm] \ {0},*)
vielen Dank im Vorraus
mfg Floyd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Di 16.11.2004 | | Autor: | matux |
Hallo Floyd,
bitte poste Folgefragen in die ursprüngliche Diskussion.
Viele Grüße,
matux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Di 16.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das habe ich doch bereits gezeigt.
Wenn du Fragen zu dem Beweis hast, dann stelle sie bitte konkret.
Viele Grüße
Julius
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