Isomorphie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Do 19.10.2006 | | Autor: | g_hub |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\{ (), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) \}
[/mm]
man zeige
[mm] S_4/V\cong S_3 [/mm] |
Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter.
Meine Idee: Finde surjektiven Homomorphismus [mm] f:S_4\to S_3 [/mm] mit ker f =V.
Leider finde ich da nichts passendes.
Etwas andere Idee: Ich setze mit [mm] \pi:S_4\to S_4/V [/mm] an (finde ich wegen
ker [mm] \pi [/mm] =V naheliegend) und suche geeignetes [mm] g:S_4/V \to S_3.
[/mm]
... eine Art Umkehrung des Homomorphiesatzes.
Keine Ahnung wie das weiter gehen könnte.
Hat jmd ne Idee? Einen Tipp?
Bin für jede Hilfe dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 19.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]V=\{ (), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) \}[/mm]
> man
> zeige
> [mm]S_4/V\cong S_3[/mm]
> Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht
> weiter.
>
> Meine Idee: Finde surjektiven Homomorphismus [mm]f:S_4\to S_3[/mm]
> mit ker f =V.
> Leider finde ich da nichts passendes.
>
> Etwas andere Idee: Ich setze mit [mm]\pi:S_4\to S_4/V[/mm] an (finde
> ich wegen
> ker [mm]\pi[/mm] =V naheliegend) und suche geeignetes [mm]g:S_4/V \to S_3.[/mm]
>
> ... eine Art Umkehrung des Homomorphiesatzes.
> Keine Ahnung wie das weiter gehen könnte.
>
> Hat jmd ne Idee? Einen Tipp?
> Bin für jede Hilfe dankbar.
Ich glaube, die selbe oder eine sehr aehnliche Aufgabe hatten wir hier schonmal. Kannst sie ja mal versuchen zu finden. Ich weiss leider nicht mehr wie lange das schon her ist...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Do 19.10.2006 | | Autor: | g_hub |
ich hab mir mal die (Überschriften der) Algebra-Artikel der letzten 100 Tage angeschaut, und habe dabei nichts brauchbares gefunden.
Oder meinst du diesen Artikel?
https://matheraum.de/read?t=173468
Darin kommt immerhin die Gruppe V ebenfalls vor, der Thread hilft mir dennoch nicht weiter. Hat jemand den Link dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Do 19.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]V=\{ (), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) \}[/mm]
> man
> zeige
> [mm]S_4/V\cong S_3[/mm]
> Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht
> weiter.
>
> Meine Idee: Finde surjektiven Homomorphismus [mm]f:S_4\to S_3[/mm]
> mit ker f =V.
> Leider finde ich da nichts passendes.
>
> Etwas andere Idee: Ich setze mit [mm]\pi:S_4\to S_4/V[/mm] an (finde
> ich wegen
> ker [mm]\pi[/mm] =V naheliegend) und suche geeignetes [mm]g:S_4/V \to S_3.[/mm]
>
> ... eine Art Umkehrung des Homomorphiesatzes.
> Keine Ahnung wie das weiter gehen könnte.
>
> Hat jmd ne Idee? Einen Tipp?
> Bin für jede Hilfe dankbar.
Ok, da hatte ich mich dann doch geirrt.
Aber ich hab fuer die Aufgabe eine Idee. Nehmen wir mal an, du hast schon gezeigt, dass $V$ ein Normalteiler in [mm] $S_4$ [/mm] ist. (Wenn nicht, das sollte schon in dem anderen Thread stehen.) Dann hat [mm] $S_4/V$ [/mm] ja 6 Elemente.
Nun, welche Gruppen gibt es mit 6 Elementen? Es gibt da nur zwei bis auf Isomorphie, naemlich [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] und [mm] $S_3$.
[/mm]
Du koenntest jetzt etwa zeigen, dass [mm] $S_4/V$ [/mm] nicht kommutativ ist, womit es isomorph zu [mm] $S_3$ [/mm] sein muss.
Es gibt aber noch ein anderes, viel einfacher nachzurechnendes Argument. Versuch mal selber drauf zu kommen, als kleiner Tipp: [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] ist zyklisch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 21.10.2006 | | Autor: | g_hub |
also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, reicht es aus vorzurechen, dass zB die Nebenklassen (1 4) V und (1 2 3) V [mm] \in S_4/V [/mm] nicht miteinander kommutieren (?!?!).
kannst du mir trotzdem noch sagen, worauf die bei der "Zyklizität" (falls es dieses Wort gibt) hinaus wolltest? Ich mag solche "Rechenbeweise" nicht, daher sagt mir die Variante wahrscheinlich mehr zu.
danke auf jeden Fall schonmal.
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> also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, reicht es
> aus vorzurechen, dass zB die Nebenklassen (1 4) V und (1 2
> 3) V [mm]\in S_4/V[/mm] nicht miteinander kommutieren (?!?!).
Ja, denn dann kann [mm] S_4/V [/mm] nicht isomorph zur zyklischen Gruppe sein.
>
> kannst du mir trotzdem noch sagen, worauf die bei der
> "Zyklizität" (falls es dieses Wort gibt) hinaus wolltest?
Die zyklische Gruppe wird von einem Element der Ordnung 6 erzeugt, vielleicht meinte er das?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:48 Mo 23.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > kannst du mir trotzdem noch sagen, worauf die bei der
> > "Zyklizität" (falls es dieses Wort gibt) hinaus wolltest?
>
> Die zyklische Gruppe wird von einem Element der Ordnung 6
> erzeugt, vielleicht meinte er das?
Genau. Und wenn man nun zeigt, dass [mm] $S_4/V$ [/mm] keine Elemente der Ordnung 6 enthaelt, kann [mm] $S_4/V$ [/mm] somit nicht zyklisch sein. Und dazu reicht es aus, zu zeigen, dass [mm] $S_4$ [/mm] keine Elemente der Ordnung [mm] $\ge [/mm] 6$ enthaelt. Dazu zerlegt man eine Permutation in [mm] $S_4$ [/mm] in disjunkte Zykel; die Ordnung ist dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Laengen der Zykel, und damit sieht man schnell dass die Ordnung hoechstens 4 sein kann.
LG Felix
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