Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 27.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo alle zusammen,
meine Frage bezieht sich auf den Ausdruck der Isomorphie. Also, ich weiß, was ein Gruppen-, Ring- bzw. Körperhomomorphismus (bzw. Isomorphismus)ist. Die Definitionen sind ja nicht allzu schwer nachzuvollziehen. Allerdings lese ich immer wieder die Aussage, dass man z.B. einen bestimmten Körper nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann. Was sagt mir das dann? Bedeutet das, dass die zugrunde liegende Menge zwar verschieden sein kann, die Struktur auf dieser Menge aber die gleiche ist? Aber was wäre in diesem Zusammenhang konkret mit der Struktur gemeint? Ich kann mir darunter irgendwie nicht richtig etwas vorstellen. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Sorry, für die vielleicht etwas schwammige Fragestellung. Aber ich weiß nicht wie ich es anders formulieren könnte.
Viele Grüße,
Ellie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 So 27.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Ellie!
> meine Frage bezieht sich auf den Ausdruck der Isomorphie.
> Also, ich weiß, was ein Gruppen-, Ring- bzw.
> Körperhomomorphismus (bzw. Isomorphismus)ist. Die
> Definitionen sind ja nicht allzu schwer nachzuvollziehen.
> Allerdings lese ich immer wieder die Aussage, dass man z.B.
> einen bestimmten Körper nur bis auf Isomorphie eindeutig
> bestimmen kann. Was sagt mir das dann? Bedeutet das, dass
> die zugrunde liegende Menge zwar verschieden sein kann, die
> Struktur auf dieser Menge aber die gleiche ist?
Genau. Zwei solche Koerper unterscheiden sich vielleicht in den Namen der Elemente, aber es gibt eine Moeglichkeit alle Elemente des einen Umzubenennen (so eine Umbenennung ist eine bijektive Abbildung!), dass sie genauso heissen wie die Elemente vom zweiten Koerper.
> Aber was
> wäre in diesem Zusammenhang konkret mit der Struktur
> gemeint? Ich kann mir darunter irgendwie nicht richtig
> etwas vorstellen. Kann mir da vielleicht jemand
> weiterhelfen?
Du kannst die komplexen Zahlen [mm] $\IC$ [/mm] ja definieren als Paare $(a, b)$ mit $a, b [mm] \in \IR$, [/mm] wobei du $(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)$ und $(a, b) [mm] \cdot [/mm] (c, d) := (a c - b d, a d + b c)$ definierst. Das Ergebnis ist ein Koerper, der isomorph zu [mm] $\IC [/mm] = [mm] \{ a + i b \mid a, b \in \IC \}$ [/mm] ist. Beide Koerper haben die gleiche Struktur, die Elemente heissen jedoch verschieden.
Du kannst auch weitere Koerper basteln, die isomorph zu [mm] $\IC$ [/mm] sind, indem du andere Darstellungen von Paaren $a, b$ mit $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] nimmst. Beispielsweise kannst du $a, b$ auch als $(b, a)$ darstellen; dann hast du die gleiche Addition, aber eine andere Multiplikation auf den Paaren; das Ergebnis ist aber immernoch isomorph zu [mm] $\IC$.
[/mm]
Ich hoffe damit ist es jetzt etwas klarer 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 27.10.2013 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo nochmal,
danke für die Antwort. Ein wenig klarer ist es mir schon geworden. Aber noch nicht klar genug. :0)
Deshalb hier nochmal ein paar Fragen bzw. Gedanken, die mir im Kopf rumschwirren:
Ich frage mich z.B. ,ob denn die Elemente von zwei Körpern, die isomorph zueinander sind immer gegenseitig voneinander abhängen? Ich denke ja schon, denn man hat ja diese Abbildung (also den Isomorphismus z.B. [mm] \phi: K_1 \to K_2, \phi(x)=y [/mm] ) und da ist ja dann jedes Element in [mm] K_2 [/mm] abhängig von jeweils genau einem Element aus [mm] K_1. [/mm] Ist dies Überlegung so richtig?
Außerdem frage ich mich folgendes:
Angenommen man hat einen Körper [mm] K_1 [/mm] und es gibt jetzt eine bijektive Abbildung auf eine Menge [mm] K_2, [/mm] so dass für die Abbildung die Voraussetzungen für einen Homomorphismus erfüllt sind.Folgt dann daraus automatisch, dass [mm] K_2 [/mm] auch ein Körper ist?
Viele Grüße,
Ellie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 27.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für die Antwort. Ein wenig klarer ist es mir schon
> geworden. Aber noch nicht klar genug. :0)
> Deshalb hier nochmal ein paar Fragen bzw. Gedanken, die
> mir im Kopf rumschwirren:
>
> Ich frage mich z.B. ,ob denn die Elemente von zwei
> Körpern, die isomorph zueinander sind immer gegenseitig
> voneinander abhängen? Ich denke ja schon, denn man hat ja
> diese Abbildung (also den Isomorphismus z.B. [mm]\phi: K_1 \to K_2, \phi(x)=y[/mm]
> ) und da ist ja dann jedes Element in [mm]K_2[/mm] abhängig von
> jeweils genau einem Element aus [mm]K_1.[/mm] Ist dies Überlegung
> so richtig?
Ja, das kann man so sehen.
> Außerdem frage ich mich folgendes:
>
> Angenommen man hat einen Körper [mm]K_1[/mm] und es gibt jetzt eine
> bijektive Abbildung auf eine Menge [mm]K_2,[/mm] so dass für die
> Abbildung die Voraussetzungen für einen Homomorphismus
> erfüllt sind.Folgt dann daraus automatisch, dass [mm]K_2[/mm] auch
> ein Körper ist?
Ja. Wenn du z.B. zeigen willst, dass $a [mm] \in K_2 \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ein Inverses hat: das Element [mm] $\phi^{-1}(a) \in K_1$ [/mm] ist ebenfalls nicht 0 (da [mm] $\phi$ [/mm] bijektiv ist), womit es ein $b' [mm] \in K_1$ [/mm] gibt mit $b' [mm] \cdot \phi^{-1}(a) [/mm] = 1$. Damit gilt $1 = [mm] \phi(1) [/mm] = [mm] \phi(b' \cdot \phi^{-1}(a)) [/mm] = [mm] \phi(b') \phi(\phi^{-1}(a)) [/mm] = [mm] \phi(b') \cdot [/mm] a$. Also ist [mm] $\phi(b')$ [/mm] das Inverse von $a$ in [mm] $K_2$.
[/mm]
LG Felix
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