Isomorphie v Tangentialräumen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:03 Fr 09.11.2012 | | Autor: | huzein |
| Aufgabe | Sei [mm] $M^n\subset\mathbb R^N$ [/mm] eine Untermannigfaltigkeit und [mm] x\in [/mm] M. Zeigen Sie, dass die Zuordnung
$T_xM [mm] \to T^{\text{UMF}}_xM\subset\mathbb R^N, [\gamma]\mapsto\gamma'(0)\in\mathbb R^N$
[/mm]
ein Isomorphismus der reellen Vektorräume ist. |
Hallo, habe obige Aufgabe zu lösen. Mein Ansatz bisher zur Injektivität:
Seien [mm] $[\gamma],[\delta]\inT_xM$ [/mm] mit [mm] $\gamma'(0)=\delta'(0)$. [/mm] Zeige, dass dann [mm] $[\gamma]=[\delta]$ [/mm] folgt.
Ich nehme mir eine Karte [mm] $(U,\varphi)$ [/mm] um $x$, [mm] $\varphi$ [/mm] soll glatt sein. Dann wende ich auf beide Seiten das Differential von [mm] $\varphi$ [/mm] an der Stelle $x$ an und erhalte
[mm] $$d\varphi_x(\gamma'(0))=d\varphi_x(\gamma'(0)).$$
[/mm]
Das ist dasselbe wie
[mm] $$\dfrac{d}{dt}\varphi(\gamma(t))|_{t=0}=\dfrac{d}{dt}\varphi(\delta(t))|_{t=0}.$$
[/mm]
Äquivalent dazu ist die Schreibweise
[mm] $$\dfrac{d}{dt}(\varphi\circ\gamma)(t)|_{t=0}=\dfrac{d}{dt}(\varphi\circ\gamma)(t)|_{t=0}$$
[/mm]
und ist dasselbe wie
[mm] $$(\varphi\circ\gamma)'(0)=(\varphi\circ\delta)'(0)$$
[/mm]
Daraus folgt aber gerade, dass [mm] $\gamma\sim_x\delta$ [/mm] und daher ist [mm] $[\gamma]=[\delta]$.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Zur Surjektivität:
Sei [mm] $v\in T^{\text{UMF}}_xM$. [/mm] Dann gibt es eine Kurve [mm] $\gamma:(-\varepsilon, \varepsilon)\to [/mm] M$ mit [mm] $\gamma(0)=x$ [/mm] und [mm] $\gamma'(0)=v$. [/mm] Naja dann ist ja aber gerade [mm] $\gamma\in [\gamma]:=\{\text{Menge aller Kurven } \delta \text{ durch } x : \gamma\sim_x\delta\}$. [/mm] Also ist die Abbildung insgesamt ein VR-Isomorphismus. Oder anders ausgedrückt: Ich kann doch jede Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] seine Äquivalenzklasse [mm] $[\gamma]$ [/mm] zuordnen und daraus folgt die Surjektivität automatisch.
Wie siehts hierbei aus?
Wäre für Tips sehr dankbar.
LG
(Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt!)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:44 Sa 10.11.2012 | | Autor: | huzein |
keiner eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 16.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 16.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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