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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 07.11.2016 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Kurve C:=V(XY-1) [mm] \subset K^2 [/mm] nicht zu [mm] K^1 [/mm] isomorph ist. K ist ein algebraisch abgeschlossener Körper. |
Guten Abend,
ich soll folgende Aufgabe lösen und habe noch den Tipp bekommen, dass man die jeweiligen Koordinatenringe betrachten soll.
Mit dem Hilbertschen Nullstellensatz gilt:
I(C) = [mm] \wurzel{(XY-1)} [/mm] = (XY-1)
[mm] \Rightarrow [/mm] K[C] = K[X,Y]/(XY-1)
Außerdem ist [mm] K[K^1] [/mm] = K[X].
Nun wollte ich einen Widerspruchsbeweis führen und annehmen, dass V(XY-1) zu [mm] K^1 [/mm] isomorph ist, um dann nachher den Widerspruch herbei zu führen, dass die Einheitengruppen K[X]^* und (K[X,Y]/(XY-1))^* nicht isomorph aufeinander abgebildet werden.
Und nun meine Frage: Wäre dies ein richtiger Widerspruch oder kann es sein, dass die Einheitengruppen nicht isomorph aufeinander abgebildet werden und es sich trotzdem um einen Isomorphismus handelt?
Ich bin bei solchen Beweisen von Nicht-Isomorphie ziemlich unsicher und habe beim Nachschlagen auch keine Antwort auf meine Frage gefunden.
LG, MinLi
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Hallo MinLi!
Der Koordinatenring ist eine Isomorphie-Invariante einer algebraischen Menge und die Einheitengruppe ist eine Isomorphie-Invariante von Ringen. Also ja: Du kannst zeigen, dass die Einheitengruppen der Koordinatenringe der Kurven nicht isomorph sind, um zu folgern, dass die Kurven nicht isomorph sind. Allerdings weiß ich nicht ganz sicher, ob die Einheitengruppen nicht eventuell isomorph sein könnten. Wenigstens für [mm] $K=\IQ$ [/mm] sind die Einheitengruppen der beiden Ringe isomorph (ich weiß, [mm] $\IQ$ [/mm] ist nicht algebraisch abgeschlossen, aber für [mm] $K=\IC$ [/mm] ist das vermutlich auch so).
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 09.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Hallo Salamanderprinzessin,
Also ich habe mir überlegt, dass die Einheitengruppe von K[X] folgende ist [mm] K[X]^{\*} [/mm] = [mm] K^{\*} [/mm] und die Einheitengruppe von K[X,Y]/(XY-1) ist ja [mm] (K[X,Y]/(XY-1))^{\*}. [/mm] Nun ist x [mm] \in (K[X,Y]/(XY-1))^{\*} [/mm] , da x*y=1 mod(XY-1), aber x [mm] \not\in K^{\*}.
[/mm]
Somit habe ich gezeigt, dass die Einheitengruppen nicht isomorph sind.
Habe ich mich da vertan oder stimmt das so?
Liebe Grüße, MinLi
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Hallo MinLi!
Du hast dich vertan. Ich sehe kein Argument dafür, dass es keinen Gruppenisomorphismus zwischen diesen Gruppen gibt. Was vermutlich leichter zu zeigen ist: Es gibt keinen $K$-Algebren-Homomorphismus [mm] $K[X]\longrightarrow [/mm] K[X,Y]/(XY=1)$, welcher einen Isomorphismus auf den Einheitengruppen induziert.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:28 Do 10.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Oh ok, aber ich dachte weil x in der einen Einheitengruppe enthalten ist und in der anderen nicht. Wieso gilt dieses Argument nicht?
Wie würde ich denn da rangehen um zu zeigen dass es keinen so einen K-Algebren Homomorphismus gibt?
LG, MinLi
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:08 Do 10.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Also ich habe mir nochmal einige Gedanken zu der Aufgabe gemacht.
Ich betrachte nun einen beliebigen K-Algebren Homomorphismus
[mm] \phi [/mm] : K[x] [mm] \to [/mm] K[x,y]/(xy-1) und will zeigen, dass zu keinem solchen Homomorphismen ein Isomorphismus zwischen den Einheitengruppen induziert wird.
Das heißt also, dass ich als Gegenargument zeigen muss, dass so ein induzierter Isomorphismus nie bijektiv ist.
Habe ich das soweit richtig verstanden?
LG, MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 12.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 12.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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