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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 So 08.04.2007 | | Autor: | Markuz |
| Aufgabe | Sei A= { [mm] \pmat{ a & 2b \\ b & a }|a, [/mm] b [mm] \in \IQ [/mm] } mit den üblichen Matritzenoperationen.
Man zeige: A ist Körper, der zu [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] isomorph ist. |
Zu Grunde liegt folgende Definition:
Zwei Ringe R und S heißen isomorph, falls es einen Ringisomorphismus [mm] \phi:R \to [/mm] S gibt, also eine bijektive Abbildung mit [mm] \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r') [/mm] und [mm] \phi(rr')=\phi(r)\phi(r') [/mm] für alle r, r' [mm] \in [/mm] R sowie [mm] \phi(1_{R})=1_{S}
[/mm]
Ich suche also eine bijektive Abb. von A nach [mm] \IQ[\wurzel{2}]
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob folgender Ansatz richtig ist:
Sei zum Beispiel folgende Abbildung [mm] \pi [/mm] erklärt durch:
[mm] \pi [/mm] : A [mm] \to \IQ[\wurzel{2}]
[/mm]
mit [mm] \pi [/mm] (M) = [mm] max(\lambda_{1}, \lambda_{2}), [/mm] mit [mm] M\in [/mm] A und [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] Eigenwert von M
Mit dieser Abbildung bekomme ich ein Element aus [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] durch eine Matrix aus A.
Ich denke ich muss nun nachweisen, dass [mm] \pi [/mm] bijektiv, also in- und surjektiv ist, bevor ich die Forderungen der Definition zeige.
Surjektiv:
Sei [mm] x=a+b\wurzel{2} [/mm] beliebig aus [mm] \IQ[\wurzel{2}]
[/mm]
ZZ: Es gibt M [mm] \in [/mm] A mit [mm] \pi(M)=a+b\wurzel{2}
[/mm]
Wähle [mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm] mit a [mm] \ge b\wurzel{2} [/mm]
qed
Injektiv (durch Kontrapos):
Seien M, M' [mm] \in [/mm] A
mit [mm] M'\not= [/mm] M
1.Fall
[mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a }
[/mm]
[mm] M'=\pmat{ a' & 2b \\ b & a' } [/mm] mit [mm] a\not=a'
[/mm]
Klar, dass [mm] \pi(M) \not= \pi(M')
[/mm]
2. Fall
[mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a }
[/mm]
[mm] M'=\pmat{ a & 2b' \\ b' & a } [/mm] mit [mm] b\not=b'
[/mm]
Klar, dass [mm] \pi(M) \not= \pi(M')
[/mm]
3. Fall
[mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a }
[/mm]
[mm] M'=\pmat{ a' & 2b' \\ b' & a' } [/mm] mit [mm] a\not=a' [/mm] und [mm] b\not=b'
[/mm]
Annahme.
[mm] a+b\wurzel{2}=a'+b'\wurzel{2} (\in \IQ[\wurzel{2}])
[/mm]
dann
[mm] (a-a')+(b-b')\wurzel{2}=0
[/mm]
Genau dann, wenn a=a' und b=b' (wegen der lin Unabhangigleit von 1 und [mm] \wurzel{2} [/mm] in [mm] \IQ[\wurzel{2}]
[/mm]
Widerspruch!
Also ist [mm] \pi [/mm] bijektiv
Jetzt reciht es doch die Forderungen der Def nachzurechen oder? Natürlich muss ich vor alldem zeigen, dass A ein Körper ist.
Puhhh! Ich bin mir nicht sicher, aber ist das oben soweit ok? Oder ist das extrem zu umständlich???
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann!
Gruß
markus
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