Isomorphimus der Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Di 17.01.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] ist gegeben:
[mm] E:=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}\in \IR^3 | x+2y-z=0\right\}
[/mm]
G sei der durch w [mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] aufgespannte Untervektorraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Gezeigt werden soll, dass [mm] \IR^3 [/mm] /E isomorph zu G ist. Gib einen Isomorphismus [mm] \psi:\IR^3 /E\to [/mm] G an.
Berechne [mm] \psi (\vektor{24 \\ 12 \\ -6} [/mm] |
Diese Aufgabe scheint mir sehr abstrakt und ich habe noch keine Idee wie ich zu einer Lösung komme.
Mir macht auch die Bezeichnung [mm] \IR^3 [/mm] /E Probleme beim Verständnis.
Könnt ihr mir das nochmal erklären?
Wie kann ich mit der Lösung dieser Aufgabe beginnen? Habt ihr Tipps?
LG heinze
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> Eine Ebene im [mm]\IR^3[/mm] ist gegeben:
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> [mm]E:={\vektor{x \\
y \\
z}\in \IR^3 | x+2y-z=0}[/mm]
>
> G sei der durch w [mm]=\vektor{1 \\
2 \\
-1}[/mm] aufgespannte
> Untervektorraum des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Gezeigt werden soll, dass [mm]\IR^3[/mm] /E isomorph zu G ist. Gib
> einen Isomorphismus [mm]\psi:\IR^3 /E\to[/mm] G an.
> Berechne [mm]\psi (\vektor{24 \\
12 \\
-6}[/mm]
> Diese Aufgabe
> scheint mir sehr abstrakt und ich habe noch keine Idee wie
> ich zu einer Lösung komme.
>
> Mir macht auch die Bezeichnung [mm]\IR^3[/mm] /E Probleme beim
> Verständnis.
> Könnt ihr mir das nochmal erklären?
Hallo,
ich habe gerade dort ein bißchen etwas zu den Quotientenräumen/Faktorräumen geschrieben.
>
> Wie kann ich mit der Lösung dieser Aufgabe beginnen? Habt
> ihr Tipps?
DasMathegirl hat ein Kochrezept zur Bestimmung einer Basis des Quotientenraumes.
Wenn Du eine Basis hast, bildest Du Basis auf Basis ab und hast Deinen Isomorphismus.
LG Angela
>
> LG heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | | Wir betrachten im [mm] \IR^3 [/mm] die Ebene E := { [mm] \vektor{x\\y\\z} \in \IR^3 [/mm] | x+2y-z = 0 }. Weiterhin sei G der durch w = [mm] \vektor{1\\2\\-1} [/mm] aufgespannte Untervektorraum des [mm] \IR^3. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \IR^3/E [/mm] isomorph zu G ist und geben Sie einen Isomorphismus [mm] \Phi [/mm] : [mm] \IR^3/E \to [/mm] G explizit an. Berechnen Sie [mm] \Phi (\vektor{\overline{24}\\12\\-6}). [/mm] |
Hallo
Hier paaren sich zwei meiner Lieblingsthemen in einer Aufgabe und ich finde, ich sollte es endlich mal verstehen ; )
Erstmal möchte ich mir überhaupt ordentlich vorstellen können, was gemeint ist. Mit der der Erklärung hier zu einer anderen Aufgabe meines Übungszettels, bin ich imemrhin schon ein Stückchen voran gekommen, weiß aber immer noch nicht so recht, wie ich das Modulo "verarbeite".
Ich hab eine Ebene E und den Vektor w, der den Unterraum G aufspannt. [mm] \IR^3/E [/mm] sind alle Ebenen parallel zu E, das heißt, sie haben den selben Normalenvektor. Und der Normalenvektor ist der Vektor w.
Was ist denn "alles außer E"? $ [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] | x+2y-z [mm] \not= [/mm] 0 $ ?
Wenn [mm] \IR^3/E \to [/mm] G isomorph sein soll, muss ich zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist.
Da hab ich grad auch eine Blockade im Kopf. G ist ein 1-dimensionaler Vektorraum durch w aufgespannt. Aber das heißt doch nicht, dass alle zu E parallelen Ebenen sich auf w Abbilden?
Es wäre wirklich schön, wenn mir das jemand das ganze verständlicher machen kann.
LG
Fin
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> Hallo
>
> Hier paaren sich zwei meiner Lieblingsthemen in einer
> Aufgabe und ich finde, ich sollte es endlich mal verstehen
> ; )
> Erstmal möchte ich mir überhaupt ordentlich vorstellen
> können, was gemeint ist. Mit der
> der Erklärung hier
> zu einer anderen Aufgabe meines Übungszettels, bin ich
> imemrhin schon ein Stückchen voran gekommen, weiß aber
> immer noch nicht so recht, wie ich das Modulo
> "verarbeite".
> > Wir betrachten im [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die Ebene E := { [mm]\vektor{x\\
y\\
z} \in \IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> | x+2y-z = 0 }. Weiterhin sei G der durch w = [mm]\vektor{1\\
2\\
-1}[/mm] aufgespannte Untervektorraum des [mm]\IR^3.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\IR^3/E[/mm] isomorph zu G ist und geben Sie
> einen Isomorphismus [mm]\Phi[/mm] : [mm]\IR^3/E \to[/mm] G explizit an.
> Berechnen Sie [mm]\Phi (\vektor{\overline{24}\\
12\\
-6}).[/mm]
>
> Ich hab eine Ebene E und den Vektor w, der den Unterraum G
> aufspannt. [mm]\IR^3/E[/mm] sind alle Ebenen parallel zu E, das
> heißt, sie haben den selben Normalenvektor. Und der
> Normalenvektor ist der Vektor w.
Hallo,
ja.
> Was ist denn "alles außer E"? [mm]\vektor{x\\
y\\
z} | x+2y-z \not= 0[/mm]
Ich verstehe nicht, was Du hier wissen willst.
> ?
>
> Wenn [mm]\IR^3/E \to[/mm] G isomorph sein soll, muss ich zeigen,
> dass die Abbildung bijektiv ist.
Und bevor Du das tust, mußt Du erstmal eine Abbildung haben.
Wie Du sie defineiren kannst, hatte ich dem Kommiltonen zuvor erklärt:
Basis von [mm] \IR^3/E [/mm] bestimmen, dann Basis auf basis abbilden.
Damit ist die Abbildung eindeutig bestimmt, und Du kannst ihre Eigenschaften zeigen.
> Da hab ich grad auch eine Blockade im Kopf. G ist ein
> 1-dimensionaler Vektorraum durch w aufgespannt.
Ja.
Er enthält aber sehr viele Vektoren, nämlich alle Vielfachen von w.
> Aber das
> heißt doch nicht, dass alle zu E parallelen Ebenen sich
> auf w Abbilden?
Nö, dan nwäre die Abbildung [mm] \phi [/mm] ja nicht bijektiv.
Aber Du mußt doch erstmal eine Abbildung haben!
LG Angela
>
> Es wäre wirklich schön, wenn mir das jemand das ganze
> verständlicher machen kann.
>
> LG
> Fin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hallo
Tut mir Leid, ich hatte nicht gesehen, dass die Frage schon gestellt wurde.
> > Was ist denn "alles außer E"? [mm]\vektor{x\\
y\\
z} | x+2y-z \not= 0[/mm]
> Ich verstehe nicht, was Du hier wissen willst.
Ich hab mich gefragt, wie ich "die Ebenen parallel zu E" mit einer Gleichung beschreibe.
> > Wenn [mm]\IR^3/E \to[/mm] G isomorph sein soll, muss ich zeigen,
> > dass die Abbildung bijektiv ist.
>
> Und bevor Du das tust, mußt Du erstmal eine Abbildung
> haben.
> Wie Du sie defineiren kannst, hatte ich dem Kommiltonen
> zuvor erklärt:
>
> Basis von [mm]\IR^3/E[/mm] bestimmen, dann Basis auf basis
> abbilden.
> Damit ist die Abbildung eindeutig bestimmt, und Du kannst
> ihre Eigenschaften zeigen.
Mh, das ist das von der anderen Aufgabe, was ich noch nicht wirklich verstehe.
Was ist denn die Basis einer Ebene? Das wären doch eigentlich die Richtungsvektoren. Die Frage ist nur: Wie ging das damals in der Schule? Ich habe die allgemeine Form der Ebene und auch die Normalenform. Aber ich bräuchte die Punktrichtungsgleichung. Ich finde nur Erklärungen in die "falsche Richtung".
Aber: Wenn man eine Gleichung für "die zu E parallelen Ebenen" hat, kann man doch auch direkt davon die Basisvektoren errechnen, anstatt über [mm] \IR^3 [/mm] und E zu gehen?
LG
Fin
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> > > Was ist denn "alles außer E"? [mm]\vektor{x\\
y\\
z} | x+2y-z \not= 0[/mm]
> > Ich verstehe nicht, was Du hier wissen willst.
>
> Ich hab mich gefragt, wie ich "die Ebenen parallel zu E"
> mit einer Gleichung beschreibe.
Hallo,
achso. Das kann ich verstehen.
Ja, z.B. so, wie Du oben sagst.
>
>
> > > Wenn [mm]\IR^3/E \to[/mm] G isomorph sein soll, muss ich zeigen,
> > > dass die Abbildung bijektiv ist.
> >
> > Und bevor Du das tust, mußt Du erstmal eine Abbildung
> > haben.
> > Wie Du sie defineiren kannst, hatte ich dem Kommiltonen
> > zuvor erklärt:
> >
> > Basis von [mm]\IR^3/E[/mm] bestimmen, dann Basis auf basis
> > abbilden.
> > Damit ist die Abbildung eindeutig bestimmt, und Du
> kannst
> > ihre Eigenschaften zeigen.
>
> Mh, das ist das von der anderen Aufgabe, was ich noch nicht
> wirklich verstehe.
>
> Was ist denn die Basis einer Ebene? Das wären doch
> eigentlich die Richtungsvektoren.
Ja. Klar.
> Die Frage ist nur: Wie
> ging das .
Da hätte ich zwei Vorschläge im Angebot:
1.
Du kennst den Normalenvektor.
Bestimme zwei linear unabhängige Vektoren, die senkrecht zu ihm sind.
(Skalarprodukt). Das läuft darauf hinaus, den Kern eines winzigen homogenen LGS zu bestimmen, nämlich den von x+2y-z=0.
2. Berechne durch Einsetzen in die Gleichung 3 nichtkollineare Punkte der Ebene und stell daraus die Parametergleichung auf. Einen kennst Du schon: den Nullpunkt.
>
> Aber: Wenn man eine Gleichung für "die zu E parallelen
> Ebenen" hat, kann man doch auch direkt davon die
> Basisvektoren errechnen, anstatt über [mm]\IR^3[/mm] und E zu
> gehen?
Wir stellen fest: wir berechnen ohne Umweg eine Basis von E.
Es sei nun [mm] E= [/mm] (lineare Hülle/Erzeugnis /Span)
Unser nächstes Ziel ist es, eine Basis des Vektorraumes [mm] \IR^3/E [/mm] zu finden.
Wir haben ja schon gesagt, daß aufgrund der Definition des Quotientenraumes in [mm] \IR^3/E [/mm] alle zu E parallelen Ebenen enthalten sind,
und in der Vorlesung wurde gesagt, mit welchen Verknüpfungen diese Menge zu einem Vektorraum wird. An dieser Stelle nun ist es nicht ganz unsinnig, einfach die Anschauung auszuknipsen und sich an Sätze und Definitionen zu halten, denn ich meine, die Anschauung steht hier jetzt eher im Wege.
In [mm] \IR^3/E [/mm] sind also sämtliche Mengen der Gestalt [mm] v+ [/mm] enthalten,wir können die Abkürzung [mm] [v]:=v+ [/mm] verwenden.
Es wurde gezeigt, daß diese Menge mit den Verknüpfungen [v]+[w]:=[v+w] und [mm] \lambda[v]:=[\lambda [/mm] w] ein Vektorraum ist.
Diese Ebenen sind die Elemente des Raumes - und da sie Elemente eines Vektorraumes sind, sind sie die Vektoren in [mm] \IR^3/E.
[/mm]
Ein jeder VR hat eine Basis, und eine solche suchen wir nun.
Der Plan, wie man zu einer solchen kommt, steht ja längst:
Ergänze [mm] (b_1, b_2) [/mm] durch einen Vektor [mm] b_3 [/mm] zu einer Basis vom [mm] \IR^3.
[/mm]
Es ist dann [mm] [b_3] [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3/E.
[/mm]
Überzeuge Dich davon, daß Du jedes Element des Quotientenraumes als Vielfaches von [mm] [b_3] [/mm] schreiben kannst - es ist lehrreich, auch wenn es im Rahmen der Aufgabenstellung nicht nötig ist, sofern die Vorgehensweise zur Basisbestimmung in der VL besprochen wurde.
Und dann stellst Du die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] auf, elche [mm] [b_3] [/mm] auf w abbildet und zeigst, daß es ein Isomorphismus ist.
LG Angela
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> LG
> Fin
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 19.01.2012 | | Autor: | heinze |
Hier ist nun dasselbe Problem mit den Basen, daher versuche ich mich mal mit einer Lösungsidee (immerhin will ich es ja lernen  )
Ich nutze mal deine 1.Variante und suche 2 orthogonale Vektoren zu w.
Das wären: [mm] b_1=\vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] und [mm] b_2=\vektor{2 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Jetzt muss ich den Kern von x+2y-z=0 bestimmen.
Wie mache ich das?
Eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] wäre doch [mm] B_{\IR^3}=(x,x^2,x^3)
[/mm]
LG heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Do 19.01.2012 | | Autor: | davux |
Entschuldige, aber ich kann das kaum nachvollziehen.
Schau mal, wie ich mir das vorstelle.
Wir haben [mm] $E:=\{\pmat{x\\y\\z}\in\IR\text{ mit } x+2y-z=0\}.
[/mm]
Nehme mir nun die Gleichung heraus um eine Basis von E zu bestimmen.
[mm] $x+2y-z=0\gdw [/mm] z=x+2y$
Also haben wir zwei Unbekannte. Daher wissen wir, dass wir zwei Basisvektoren haben. Die ließen sich nun wie folgt ermitteln.
Setze mit [mm] $x=\lambda_1, y=\lambda_2$ [/mm] zwei Freiheitsgrade in die umgeformte Gleichung. Dann lässt sich z auch so schreiben: [mm] $z=\lambda_1+2\lambda_2
[/mm]
Jetzt ließe sich auch eine Lösungsmenge angeben, aber uns genügt erstmal zu sagen, die Basisvektoren haben die Form [mm] \pmat{\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_1+2\lambda_2}. [/mm] Setzen wir [mm] $\lambda_1=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=1$, [/mm] dann erhalten wir einen ersten Basisvektor [mm] $\pmat{0\\1\\2}=:v_1$. [/mm] Nun setzen wir [mm] $\lambda_1=1, \lambda_2=0$, [/mm] womit wir einen zweiten Basisvektor [mm] $\pmat{1\\0\\1}=:v_2$ [/mm] erhalten. Diese sind linear unabhängig. Das ist offensichtlich. Betrachte dazu gegebenenfalls [mm] $\pmat{v_2^T\\v_1^T}$. [/mm] Also haben wir mit eine Basis mit [mm] B=\{v_1,v_2\}.
[/mm]
So, nun gab es da schon einige Folgerungen und unser Kochrezept.
Man sollte nun $B$ zu einer Basis von [mm] $\IR^3=:V$ [/mm] ergänzen. Der Basisvektor, den man ergänzt, stellt beinahe eine Basis des Faktors $V/E$ dar. Da steckt implizit mit dem Wissen aus der Vorlesung schon drin, dass der Faktor isomorph zu einer Ursprungsgeraden ist. Im Fischer findet sich auch das Korollar, welches besagt, Vektorräume gleicher Dimension sind isomorph.
Welchen Vektor wählen wir nun als Ergänzung um eine Basis von V zu erhalten? Und wie sieht dann eine Basis von $V/E$ aus?
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> Ich nutze mal deine 1.Variante und suche 2 orthogonale
> Vektoren zu w.
>
> Das wären: [mm]b_1=\vektor{1 \\
-1 \\
-1}[/mm] und [mm]b_2=\vektor{2 \\
1 \\
4}[/mm]
Hallo,
Du hast völlig richtige Vektoren gefunden.
Sie spannen die Ebene auf, und zusammen mit (z.B) dem Normalenvektor hast Du eine Basis vom [mm] \IR^3,
[/mm]
mit welcher Du nun weiterarbeiten kannst.
Insbesondere kannst Du jetzt mit dem Rezept, welches Du gegen Anfang mitteiltest, die Basis des Quotientenraumes hinschreiben.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 19.01.2012 | | Autor: | davux |
Hallo angela,
im Thread habe ich bereits beschrieben, wie ich eine Basis von E ermittelt habe. Als offene Frage habe ich stehengelassen, wie man denn nun eine Basis von [mm] $\IR^3$ [/mm] daraus macht und wie sich die Basis von $V/E$ angibt. Die Aufgabe habe ich ebenfalls noch nicht ganz fertig, aber ich habe mir die Woche über aus vielen Mündern den Faktorraum erklären lassen und ein paar Tipps zu den Aufgaben erhalten.
Ich kann nun also schreiben [mm] E=\langle\pmat{1\\0\\1},\pmat{0\\1\\2}\rangle=:\langle v_1, v_2\rangle [/mm] als Menge aller Linearkombinationen. Um eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu erhalten, benötige ich nur einen weiteren Vektor, der nicht in der Ebene liegt. Dazu bieten Standardbasisvektoren an.
Wähle [mm] $v_3=\pmat{0\\1\\0}$.
[/mm]
Damit habe ich mich nun gefragt, wie sich [mm] $v=\pmat{a\\b\\c}\in\IR^3$ [/mm] darstellen lässt. Dazu habe ich ein kleines lineares Gleichungssystem gelöst. Und daraufhin folgendes erhalten:
[mm] $\pmat{a\\b\\c}=a\pmat{1\\0\\1}+(b-\bruch{a-c}{2})\pmat{0\\1\\0}+(\bruch{a-c}{2})\pmat{0\\1\\2}$
[/mm]
Nun folgere ich auf den Faktorraum [mm] $\IR^3/E$:
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{a\\b\\c}+E=(b-\bruch{a-c}{2})\pmat{0\\1\\0}+E.
[/mm]
Habe ich damit nicht eine allgemeine Form der Elemente des Faktorraums?
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> Ich kann nun also schreiben
> [mm]E=\langle\pmat{1\\
0\\
1},\pmat{0\\
1\\
2}\rangle=:\langle v_1, v_2\rangle[/mm]
Hallo,
ja.
> als Menge aller Linearkombinationen. Um eine Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] zu erhalten, benötige ich nur einen weiteren Vektor,
> der nicht in der Ebene liegt. Dazu bieten
> Standardbasisvektoren an.
Ob sie sich in diesem Fall wirklich "anbieten" im Sinne von "aufdrängen" sei dahingestellt (/*). Jedenfalls funktioniert es, die Basis mit einem Standardbasisvektor zu ergänzen, und darauf kommt es an.
>
> Wähle [mm]v_3=\pmat{0\\
1\\
0}[/mm].
Ja.
> Damit habe ich mich nun gefragt, wie sich
> [mm]v=\pmat{a\\
b\\
c}\in\IR^3[/mm] darstellen lässt.
Du darfst Dich das natürlich fragen, ich weiß bloß im Moment nicht weshalb Dich das interessiert.
(Nachtrag: später geht's mir auf, und es gefällt mir, weil Du auf diese Art erkennst, wieso man eine Basis des Quotientenraumes so bestimmen kann, wie wir es tun.)
Das Problem ist kein schwerwiegendes, und seine Lösung wurde in der Vergangenheit ja oftmals geübt.
> Dazu habe ich
> ein kleines lineares Gleichungssystem gelöst. Und
> daraufhin folgendes erhalten:
>
> [mm]\pmat{a\\
b\\
c}=a\pmat{1\\
0\\
1}+(b-\bruch{a-c}{2})\pmat{0\\
1\\
0}+(\bruch{a-c}{2})\pmat{0\\
1\\
2}[/mm]
Wird schon stimmen...
>
> Nun folgere ich auf den Faktorraum [mm]\IR^3/E[/mm]:
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{a\\
b\\
c}+E=(b-\bruch{a-c}{2})\pmat{0\\
1\\
0}+E.[/mm]
>
> Habe ich damit nicht eine allgemeine Form der Elemente des
> Faktorraums?
Ja, die hast Du. Es müßte noch irgendwie dastehen "für alle [mm] a,b,c\in \IR".
[/mm]
Es ist nicht die allerschönste Form der Elemente von V/U.
Da es aber für alle [mm] a,b,c\in \IR [/mm] gilt, gilt es insbesondere auch für a=c, und Du erhältst
[mm] \pmat{a\\
b\\
c}+E=b\pmat{0\\
1\\
0}+E [/mm] für alle [mm] b\in \IR [/mm] und siehst damit sehr deutlich, daß [mm] \pmat{0\\
1\\
0}+E [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3/E [/mm] ist.
LG Angela
(/*) Wirklich "aufdrängen" würde sich von der Geometrie her und natürlich auch im Angesichte der Aufgabenstellung der Normalenvektor.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Fr 20.01.2012 | | Autor: | davux |
Hm,
ich dachte das GLS, was ich auf dem Weg gelöst habe, wäre etwas einfacher, wenn ich einen möglichst einfachen Vektor wähle. Diese Einfachheit hast du mir aber jetzt erst gezeigt. Wenn mich nicht alles täuscht, dann war die Basis von G der Normalenvektor zu E. Mit dem probiere ich das dann gleich mal noch aus.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Fr 20.01.2012 | | Autor: | davux |
Ich möchte nochmal stichpunktartig meine Lösung angeben und an dem Punkt ansetzen, wo wir stehen geblieben waren.
- Basis von E
- Basis von [mm] \IR^3
[/mm]
- Dimension von [mm] \IR^3/E
[/mm]
Jetzt habe ich argumentiert, da $dim(V/E)=dim(G)=1$ gilt: [mm] $\IR^3/E\cong [/mm] G$.
- Basis von [mm] \IR^3/E [/mm] (nach der Methode aus dem entsprechendem Beitrag)
Sei [mm] $v=\{\pmat{a\\b\\c}\}\in\IR^3$ [/mm] und [mm] $\{v_1, v_2, v_3\}$ [/mm] die ermittelte Basis von [mm] \IR^3, [/mm] dann gilt: [mm] $v=\mu_1 v_1+\mu_2 v_2+\mu_3 v_3$
[/mm]
Nun habe ich ein LGS gelöst um die Koeffizienten [mm] \mu_1, \mu_2, \mu_3 [/mm] zu ermittelt, wobei nur [mm] \mu_3 [/mm] interessant ist. Das Ergebnis führte mich zu
[mm] $\pmat{a\\b\\c}+E=-\bruch{1}{6}(c-2b-a) v_3+E=(\bruch{a-c}{6}+\bruch{b}{3}) v_3 [/mm] + E$, wobei [mm] {v_3} [/mm] die Basis von G ist. [mm] \IR^3/E [/mm] wird also aufgespannt durch $v+E$.
Damit wollte ich jetzt explizit einen/den (?) Isomorphismus [mm] $\Phi:\IR^3/E\to [/mm] G$ angeben.
Da hänge ich aber noch etwas. Also man möchte in [mm] \Phi [/mm] eine Restklasse reinstecken und ein vielfaches von [mm] v_3 [/mm] raushaben. Anschaulich sagt man, es wird projeziert.
Ich habe mir das so vorgestellt:
[mm] $\Phi(\overline{v})=\Phi(v+E)=\Phi(\mu_3 v_3+E)=\Phi((\bruch{a-c}{6}+\bruch{b}{3}) v_3 [/mm] + [mm] E)=(\bruch{a-c}{6}+\bruch{b}{3}) v_3=v$.
[/mm]
Das wollte ich noch zur Abbildungsvorschrift ergänzen, also [mm] $\overline{v}\mapsto [/mm] v$.
Für das Beispiel aus der Aufgabe, was berechnet werden soll, habe ich
[mm] $\Phi(\overline{\pmat{24\\12\\-6}})=\Phi(9\cdot\pmat{1\\2\\-1}+E)=\pmat{9\\18\\-9}$ [/mm] rausbekommen.
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> Ich möchte nochmal stichpunktartig meine Lösung angeben
> und an dem Punkt ansetzen, wo wir stehen geblieben waren.
>
> - Basis von E
> - Basis von [mm]\IR^3[/mm]
> - Dimension von [mm]\IR^3/E[/mm]
>
> Jetzt habe ich argumentiert, da [mm]dim(V/E)=dim(G)=1[/mm] gilt:
> [mm]\IR^3/E\cong G[/mm].
Hallo,
da die Dimension =1 ist, bist Du hier im Grunde mit der Basisbestimmung fertig: Du kannst jedes Element v+U mit [mm] v\not\in [/mm] U als Basis nehmen.
Man muß den Weg über die Basisergänzung natürlich kennen und können, denn nicht jeder Fall ist so einfach gelagert.
>
> - Basis von [mm]\IR^3/E[/mm] (nach der Methode aus dem
> entsprechendem Beitrag)
> Sei [mm]v=\{\pmat{a\\
b\\
c}\}\in\IR^3[/mm] und [mm]\{v_1, v_2, v_3\}[/mm] die
> ermittelte Basis von [mm]\IR^3,[/mm] dann gilt: [mm]v=\mu_1 v_1+\mu_2 v_2+\mu_3 v_3[/mm]
>
> Nun habe ich ein LGS gelöst um die Koeffizienten [mm]\mu_1, \mu_2, \mu_3[/mm]
> zu ermittelt, wobei nur [mm]\mu_3[/mm] interessant ist. Das Ergebnis
> führte mich zu
>
> [mm]\pmat{a\\
b\\
c}+E=-\bruch{1}{6}(c-2b-a) v_3+E=(\bruch{a-c}{6}+\bruch{b}{3}) v_3 + E[/mm],
> wobei [mm]{v_3}[/mm] die Basis von G ist. [mm]\IR^3/E[/mm] wird also
> aufgespannt durch [mm]v+E[/mm].
Ich habe es schonmal gesagt: ich finde es gut, daß Du das einmal so versucht hast, u.a. weil man dabei lernt, ein wenig mit den Quotientenräumen umzugehen.
Da aber wohl in der Vorlesung schon die Sache mit der Basisergänzung besprochen und bewiesen wurde, kannst Du Dir den ganzen a-b-c-Zauber sparen: die Ergänzungsvektoren sind stets Repäsentanten der Äquivalenzklassen, die eine Basis bilden.
>
> Damit wollte ich jetzt explizit einen/den (?) Isomorphismus
> [mm]\Phi:\IR^3/E\to G[/mm] angeben.
Einen Isomorphismus.
Bei VR-Isomorphismen kommt es darauf an, jede Basis auf eine Basis abzubilden, und dafür gibt es auch hier verschiedene Möglichkeiten.
> Da hänge ich aber noch etwas. Also man möchte in [mm]\Phi[/mm]
> eine Restklasse reinstecken und ein vielfaches von [mm]v_3[/mm]
> raushaben. Anschaulich sagt man, es wird projeziert.
Wenn man sowas sagt, sagt man "projiziert" - hab' ich hier mal vom reverend gelernt.
Den Begriff Projektion solltest Du hier nicht verwenden.
Die kanonische Projektion bildet aus dem V in den V/U ab und zwar durch [mm] v\mapsto [/mm] v*U.
>
> Ich habe mir das so vorgestellt:
> [mm]\Phi(\overline{v})=\Phi(v+E)=\Phi(\mu_3 v_3+E)=\Phi((\bruch{a-c}{6}+\bruch{b}{3}) v_3 + E)=(\bruch{a-c}{6}+\bruch{b}{3}) v_3=v[/mm].
> Das wollte ich noch zur Abbildungsvorschrift ergänzen,
> also [mm]\overline{v}\mapsto v[/mm].
Aha. Du möchtest Du definerst [mm] \phi(\overline{v})=v.
[/mm]
Nun mußt Du Linearität, Bijektivität --- und die Wohldefiniertheit (!) nachweisen. Ich bin mal gespannt... Und sag' da erstmal gar nichts weiter zu.
> Für das Beispiel aus der Aufgabe, was berechnet werden
> soll, habe ich
>
> [mm]\Phi(\overline{\pmat{24\\
12\\
-6}})=\Phi(9\cdot\pmat{1\\
2\\
-1}+E)=\pmat{9\\
18\\
-9}[/mm]
> rausbekommen.
Das ist natürlich, wenn ich mir anschaue, wie Du [mm] \phi [/mm] definiert hast, irritierend...
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 21.01.2012 | | Autor: | heinze |
Wir haben:
[mm] B_E={\vektor{0 \\ 1 \\ 2},\vektor{1 \\ 0 \\ 1}}
[/mm]
[mm] B_{\IR^3}={\vektor{0 \\ 1 \\ 2},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}}
[/mm]
[mm] B_{\IR^3/E}={\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+E} [/mm] bzw [mm] {\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+(x+2y-z=0)}
[/mm]
Reicht die Argumentation mit dim(G)=dim(V/E)=1?
Ich habe noch nicht verstanden wie ich einen Isomorphismus explizit angeben soll. Isomorphismen sind für mich ebenfalls fremd. Isomorphismen sind bijektiv. Aber ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgábe einen solchen bilden kann.
LG heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Sa 21.01.2012 | | Autor: | davux |
Hallo heinze,
ich wollte dir noch sagen, dass deine Basis für E in Ordnung gewesen ist. Du könntest auch damit weiterarbeiten, aber was du eben dann kurzerhand als Basis für [mm] \IR^3 [/mm] herangezogen hast, das war schlichtweg falsch.
Die Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] ist [mm] \{\pmat{1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1}\}. [/mm] Was du angegeben hattest, liegt nahe an der Standardbasis für Polynome vom Grad drei, die etwas diese Form hat [mm] \{1,X,X^2,X^3\}. [/mm] Das hat aber mit dieser Aufgabe nichts zu tun, sondern eher mit der nächsten.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 21.01.2012 | | Autor: | heinze |
Stimmt, danke für den Hinweis! Ich weiß ja das diese Standardbasen des [mm] IR^3 [/mm] die Basis sind. Ich habe bloß nicht nachgedacht
Danke dass du mich darauf hingewiesen hast.
Kannst du mir die Sache mit dem Isomorphismus erklären? Das verstehe ich nicht. Das habe ich nicht verstanden und ich habe keine Idee dazu.
LG heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Sa 21.01.2012 | | Autor: | davux |
Sry, ich habe gerade keine Zeit mehr, vielleicht später, muss mich um meine kleine Tochter kümmern, die ist gerade aufgewacht.
Schau dir die Beiträge von Angela und Fred an. Beschäftige dich mal mit den Begriffen Linearität, Wohldefiniertheit und Bijektivität. Ich bin nicht sicher, ob die schon gegeben sein könnten, also ob wir sie wirklich nachweisen sollten. Die Linearität fiel mir am einfachsten und das habe ich bereits gezeigt.
Zudem könntest du dir nochmal den ersten Isomorphiesatz anschauen und wenn du sie hast, die Lösung von Aufgabe 1 des letzten Übungszettels. Die wollte ich später nochmal abschreiben, weil ich mir alternativ noch eine Argumentation unter Zuhilfenahme dieser Aufgabe überlegt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 So 22.01.2012 | | Autor: | davux |
Hmm, wenn du die Frage so stellst, dann kann ich mich des Eindrucks nicht erwehren, dass du die Definition nicht vom Begriff Isomorphismus nicht verstanden hast.
Also ich habe ja weiter unten schon eine Frage beantwortet, die nicht die Lösung der Aufgabe auf einem Präsentierteller serviert. Ich starte nochmal einen Ansatz. Das geht aber mehr in Richtung der Spezialfälle.
Was ist ein Homomorphismus?
Seien V, W ein K-Vektorräume und [mm] $\phi: V\to [/mm] W$ eine Abbildung.
Die Abbildung [mm] \phi [/mm] heißt linear, wenn gilt:
i) [mm] $\phi(v+w)=\phi(v)+\phi(w)$ [/mm] für $v, [mm] w\in [/mm] V$
ii) [mm] $\phi(\lambda v)=\lambda \phi(v)$ [/mm] für [mm] $v\inV, \lambda\in [/mm] K$.
Wann spricht man von [mm] \phi [/mm] als Homomorphismus?
Was ist ein Endomorphismus?
Nehmen wir an, in der obigen Definition ist W=V, dann sagt man anstelle von Homomorphismus Endomorphismus.
Nun ist also [mm] $\phi: V\to [/mm] V$, dann gibt es eine Abbildung id: [mm] $v\mapsto [/mm] v$, genannt identische Abbildung.
Ist diese Abbildung linear? Ist sie injektiv, surjektiv, gar bijektiv?
In diesem Fall ist der Endomorphismus ein Isomorphismus. Es muss aber keine Abbildung [mm] $V\to [/mm] V$ sein. Es gilt sogar o.B.d.A., dass Vektorräume gleicher Dimension isomorph sind, also dass man einen Isomorphismus zwischen ihnen definieren kann.
Einen zu definieren, das ist unsere Aufgabe.
Edit: Natürlich darf [mm] V\not=\emptyset [/mm] nicht leer sein.
Und homomorph kann kann übrigens übersetzen mit verknüpfungstreu.
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> Wir haben:
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> [mm]B_E=\{\vektor{0 \\
1 \\
2},\vektor{1 \\
0 \\
1}}\[/mm]
>
> [mm]B_{\IR^3}=\{\vektor{0 \\
1 \\
2},\vektor{1 \\
0 \\
1},\vektor{0 \\
1 \\
0}}\[/mm]
>
> [mm] B_{\IR^3/E}=\{\vektor{0 \\
1 \\
0}+E} [/mm] bzw [mm] \red{{\vektor{0 \\
1 \\
0}+(x+2y-z=0)}\}
[/mm]
Hallo,
das Rote kannst Du so nicht schreiben. Du müßtest E dann schon vernünftig als Menge formulieren.
Wie soll man denn vektoren und Gleichungen addieren.das ist schlimer als Äpfel und Birnen.
>
> Reicht die Argumentation mit dim(G)=dim(V/E)=1?
Ich sehe keine Argumentation...
Wenn Ihr aber die Vorgehensweise über die Basisergänzung in der Vorlesung besprochen und abgesegnet habt, kannst Du Dich darauf berufen.
>
> Ich habe noch nicht verstanden wie ich einen Isomorphismus
> explizit angeben soll.
Durch Angabe der Abbildungsvorschrift.
Wie man zu dem Isomorphismus kommt, hat Fred ja sehr schön erklärt, ich könnte ihn nur imitieren.
Studiere sein Post, und tu parallel all das, was fred mit V und U tut, für [mm] \IR^3 [/mm] und E.
> Isomorphismen sind für mich
> ebenfalls fremd.
Dies mußt Du ändern.
Dies beginnt damit, daß Du im Schlaf die Definition aufsagen kannst.
> Isomorphismen sind bijektiv.
Ja, bijektive Homomorphismen.
> Aber ich
> weiß nicht wie ich bei dieser Aufgábe einen solchen
> bilden kann.
Lies bei Fred.
LG Angela
>
>
> LG heinze
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Ich habe es nun immernoch nicht hinbekommen einen Isomorphismus anzugeben.
Kann vielleicht jemand ein Kontrollergebnis geben zum weiterrechnen?
Wenn ich den Isomorphismus nicht hinbekomme, dann kann ich den rest leider auch nicht berechnen.
MfG
Mathegirl
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> Ich habe es nun immer noch nicht hinbekommen einen
> Isomorphismus anzugeben.
> Kann vielleicht jemand ein Kontrollergebnis geben zum
> weiterrechnen?
> Wenn ich den Isomorphismus nicht hinbekomme, dann kann ich
> den rest leider auch nicht berechnen.
Hallo,
welchen Rest eigentlich?
Was hast Du bisher, und was möchtest Du noch alles tun?
Ein "Kontrollergebnis" anzugeben ist doch wirklich etwas unpassend.
Nachdem hier in einem ca. 3.75m langen Thread so viel erklärt und kommentiert wurde, dürfte man eigene, darauf beruhende und zielgerichtete Aktivitäten erwarten.
Auch von Dir.
Das Ziel des Forums ist nicht das Servieren von abschreibfertigen Lösungen - die Lösungen abschreiben kannst Du ja innerhalb von ein paar Minuten bei den Kommilitonen.
Das Ziel des Forums ist es, ein wenig Unterstützung beim Verständnis der Materie und beim Lösen der Aufgaben zu geben.
Dafür, daß dies von verschiedenen Leuten mit Engagement getan wird, ist nicht zuletzt dieser Thread ein Beweis.
Bist Du Dir eigentlich sicher, daß Deine Chefs begeistert wären, wenn sie feststellen müßten, daß ich hier mit weißem Schürzchen und Serviertablett unterwegs bin?
Jetzt nochmal zum Isomorphismus: es gibt nicht nur einen.
Welcher Student welchen Isomorphismus wählt, dürfte normalerweise in engem Zusammenhang zu den vorhergehenden Überlegungen stehen und sich auf diese berufen. Das sollte insgesamt schon stimmig sein.
Man müßte also wirklich sehen, wie weit Du mit welchen Überlegungen gekommen bist.
Du verstehst sicher, daß ich meine erwarten zu können, daß Du dies übersichtlich präsentierst bis zu dem Punkt, an welchem Du weitere Hilfe benötigst.
Übrigens:
Du wirst doch sicher den Thread verfolgt haben.
Einen Isomorphismus gibt es ja inzwischen schon.
K.A., ob der zu Deinen Überlegungen paßt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bist Du Dir eigentlich sicher, daß Deine Chefs begeistert
> wären, wenn sie feststellen müßten, daß ich hier mit
> weißem Schürzchen und Serviertablett unterwegs bin?
Hallo Angela,
kann ich davon ein Foto haben ?
Gruß FRED
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> Gezeigt werden soll, dass [mm]\IR^3[/mm] /E isomorph zu G ist.
Hallo,
nochmal ein kleiner Hinweis zu diesem Teil der Aufgabenstellung, welcher wegen des ganzen Basiszeugs etwas untergegangen ist:
Es ist aus der VL bekannt, daß [mm] \IR^3/E [/mm] mit den einschlägigen Verknüpfungen ein VR ist.
Ebenfalls gibt es Indizien dafür, daß für VR V und UVR U bekannt ist
dim U + dim V / U = dim V.
Damit hat man ja fix die Dimension von [mm] \IR^3/E, [/mm] womit dann bereits klar ist, daß [mm] \IR^3/E [/mm] und G isomorph sind.
Für die Angabe eines Isomorphismus erst braucht man die Basis von [mm] \IR^3/E.
[/mm]
LG Angela
.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Fr 20.01.2012 | | Autor: | fred97 |
In obiger Aufgabe ist $E [mm] \oplus [/mm] G= [mm] \IR^3$
[/mm]
Damit man nicht vor lauter Wäldern den Baum nicht mehr sieht , machen wirs ganz allgemein:
Sei V ein Vektorraum und U und W seien Unterräume von V mit
$U [mm] \oplus [/mm] W= V$.
Die Elemente von V/U bez. ich mit [x] (x [mm] \in [/mm] V), also [x]=x+U.
Wir definieren die Abbildung [mm] $\psi:V/U \to [/mm] W$ wie folgt: ist x [mm] \in [/mm] V, so gibt es eindeutig bestimmte u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W mit x=u+w.
Setze [mm] \psi([x]):=w.
[/mm]
Nun muß man noch nachrechnen, dass [mm] \psi [/mm] wohldefiniert , linear und bijektiv ist.
Ist V endlichdimensional, so folgt aus dem Dimensionssatz:
dim(V/U)= dim [mm] kern(\psi)+dim Bild(\psi)= [/mm] dim W = dimV-dimU,
also, wie Angela oben geshrieben hat,:
dim U + dim (V / U) = dim V.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 21.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe U und E als Unterraum des [mm] \IR^3. [/mm]
also muss [mm] U\oplus E=\IR^3 [/mm] ?
Wie zeige ich das?
x sind Elemente von V/U also von [mm] \IR^3/E.
[/mm]
Was ist jetzt mein [mm] u\in [/mm] U und mein [mm] w\in [/mm] W?
und wie bilde ich daraus [mm] \phi?
[/mm]
Das ist mir nicht klar.
Zur Anmerkung: Ich habe meine Skripte sehr wohl durchgearbeitet aber es ist mir nicht klar geworden. Mir fehlen konkrete Bespiele an denen ich das Prinzip verstehen kann. Das Problem bestand schon bei Darstellungsmatrizen. Das Prinzip habe ich nach Beispielen gut verstanden.
Ich muss die Aufgabe bis morgen Abend fertig haben und würde es gerne bis dahin nachvollziehen und verstehen können.
Eure Tipps sind gut, aber ich brauche immer Bespiele an denen ich mir das klar machen kann.
LG heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 21.01.2012 | | Autor: | davux |
Nun gut, ich versuche dir mal Teilweise zu antworten.
Sei V ein K-Vektorraum und seien U, W Untervektorräume [mm] $U,W\subset [/mm] V$ von V.
In unserem Fall ist [mm] V=\IR^3 [/mm] und U=E eine Ebene im [mm] \IR^3. [/mm] Außerdem ist W=G eine Gerade im [mm] \IR^3. [/mm] Für E und G haben wir ganz bestimmte Vorgaben bekommen, die uns unter anderem spätestens als wir Basen hatten gesagt haben, dass wir keine Vektoren, jeweils einen aus E und einen aus G, finden können die gleich sind. Also gilt doch [mm] E\cap G=\{0\}. [/mm] Zudem haben wir Basen für E und G gefunden. Wir kennen ihre Dimension. Wir kennen die Dimension von V. Es ist doch klar, dass [mm] E\oplus G=V=\IR^3 [/mm] ist.
Die Elemente [mm] \overline{x} [/mm] aus [mm] \IR^3/E [/mm] sind Restklassen. Man kennt sie auch als [mm] \overline{x}=x+E.
[/mm]
[mm] \IR^3/E [/mm] kann man auch als Menge ausdrücken [mm] \IR^3/E=\{x+E\,|\,x\in\IR^3\}.
[/mm]
Die [mm] $u\in [/mm] U=:E$ und [mm] $w\in [/mm] W=:G$ sind schlicht Elemente aus der Ebene und der Geraden. Es gibt nun eindeutig bestimmte Elemente mit denen wir [mm] x\in [/mm] V ausgedrückt wird mit $x=u+w$.
Hmm, nehmen wir mal [mm] $E\oplus [/mm] G/E$. Nachdem, was wir jetzt schon wissen ist das [mm] $\IR^3/E$ [/mm] nur anderst ausgedrückt. Das Interessante an der Aufgabe ist nun, dass [mm] $E\oplus [/mm] G/E=G$, streng genommen also [mm] $\IR/E\cong [/mm] G$. Wie sollte ich dir das noch weiter erklären. Das impliziert die Existenz eines Isomorphismus [mm] \Phi [/mm] bei dem [mm] $E=ker\,\Phi$ [/mm] und [mm] $G=im\,\Phi$.
[/mm]
Ich kann dir die Aufgabe auch nicht lösen, aber ich bin in der Theorie schon etwas weiter. Nur habe ich hier im Thema sehr viel gemacht, worauf wir bestimmt verzichten können, wenn wir die Sätze aus der Vorlesung nur richtig anwenden. Da war zum einen der Basisergänzungssatz und ich denke auch die Isomophiesätze spielen eine Rolle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 22.01.2012 | | Autor: | heinze |
Danke. Die Theorie habe ich mir ausgearbeitet aber verstanden hab ich es nicht. Daher kann ich es auch nicht an der konkreten Aufgabe umsetzen.
Ich kann einfach nicht nachvollziehen wie ich einen Isomorphis bilden soll. Ich brauche ein Beispiel zum Nachvollziehen, dann platzt der Knoten meist und ich verstehe es.
Aber so komme ich definitiv nicht voran.
Ich bin euch sehr dankbar dass ihr es mir versucht zu erklären. Aber Theorie heißt nicht, dass die Logik und das Verständnis zur Umsetzung folgt.
Also:
Ich habe die Basis von [mm] \IR^3, [/mm] E und G bzw die Basis von G, wa bin ich mir nicht sicher wie die gebildet wird. Das wurde ja nur mit den Dimensionen gezeigt.
Ich habe nun auch die Basis von [mm] \IR^3/E.
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen, dass es sich um einen Isomorphismus handelt.
Aber daran scheitere ich wohl. Sowie auch daran, dass ich einen Isomorphismus angeben soll.
LG heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 So 22.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke. Die Theorie habe ich mir ausgearbeitet aber
> verstanden hab ich es nicht. Daher kann ich es auch nicht
> an der konkreten Aufgabe umsetzen.
>
> Ich kann einfach nicht nachvollziehen wie ich einen
> Isomorphis bilden soll. Ich brauche ein Beispiel zum
> Nachvollziehen, dann platzt der Knoten meist und ich
> verstehe es.
>
> Aber so komme ich definitiv nicht voran.
> Ich bin euch sehr dankbar dass ihr es mir versucht zu
> erklären. Aber Theorie heißt nicht, dass die Logik und
> das Verständnis zur Umsetzung folgt.
>
>
> Also:
> Ich habe die Basis von [mm]\IR^3,[/mm] E und G bzw die Basis von G,
> wa bin ich mir nicht sicher wie die gebildet wird. Das
> wurde ja nur mit den Dimensionen gezeigt.
> Ich habe nun auch die Basis von [mm]\IR^3/E.[/mm]
>
> Jetzt muss ich zeigen, dass es sich um einen Isomorphismus
> handelt.
> Aber daran scheitere ich wohl. Sowie auch daran, dass ich
> einen Isomorphismus angeben soll.
Ich hab doch hier
https://matheraum.de/read?i=860443
beschrieben, wie das geht !
FRED
>
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 22.01.2012 | | Autor: | heinze |
> Die Elemente von V/U bez. ich mit [x] (x [mm]\in[/mm] V), also
> [x]=x+U.
V/U ist in dem Fall [mm] \IR^3/E={\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+E}
[/mm]
> Wir definieren die Abbildung [mm]\psi:V/U \to W[/mm] wie folgt: ist
> x [mm]\in[/mm] V, so gibt es eindeutig bestimmte u [mm]\in[/mm] U und w [mm]\in[/mm] W
> mit x=u+w.
Gesucht ist eine Abbildung, ein Isomorphismus mit [mm] \psi: \IR^3/E\to [/mm] G
>
> Setze [mm]\psi([x]):=w.[/mm]
Also [mm] \psi({\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+E}):=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
> Nun muß man noch nachrechnen, dass [mm]\psi[/mm] wohldefiniert ,
> linear und bijektiv ist.
Wenn ich meine Abbildung/den isomorphismus habe, dann kann ich wohldefiniert, linear, bijektiv zeigen. Aber da ich noch nicht den richtigen isomorphismus habe gestaltet es sich unsinnig das zu zeigen.
> Ist V endlichdimensional, so folgt aus dem Dimensionssatz:
> dim(V/U)= dim [mm]kern(\psi)+dim Bild(\psi)=[/mm] dim W =
> dimV-dimU,
> dim U + dim (V / U) = dim V.
>
> FRED
LG heinze
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> > Die Elemente von V/U bez. ich mit [x] (x [mm]\in[/mm] V), also
> > [x]=x+U.
>
> V/U ist in dem Fall [mm]\IR^3/E={\vektor{0 \\
1 \\
0}+E}[/mm]
Hallo,
nein.
Zwar ist V/U in diesem Falle [mm] \IR^3/E, [/mm] aber es ist nicht [mm] \IR^3/E [/mm] dasselbe wie [mm] \vektor{0\\1\\0}+E.
[/mm]
Sondern es ist [mm] \vektor{0\\1\\0}+E [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3/E,
[/mm]
dh [mm] \IR^3/E=<\vektor{0\\1\\ 0}+E>.
[/mm]
Du machst einen Kardinalfehler, der mir symptomatisch für Deine Arbeitsweise zu sein scheint - beachte, daß mein Urteil natürlich ausschließlich auf dem beruht, was man hier im Forum von Dir liest:
Es ist gut und richtig und völlig sinnvoll und das einzig Angebrachte, mal das, was Fred schrieb, mit Leben zu füllen, also am Beispiel mitzuverfolgen.
Aber: Du steigst einfach an irgendeiner Stelle von Freds Post ein und widmest dem Anfang nicht genügend Aufmerksamkeit.
Ein wesentlicher Punkt ist doch, in welcher Art und Weise Fred den [mm] \IR^3 [/mm] als direkte Summe geeigneter Unterräume schreibt.
> Also [mm]\psi({\vektor{0 \\
1 \\
0}+E}):=\vektor{1 \\
2 \\
-1}[/mm]
Man kann tatsächlich, wenn man erkannt hat, daß [mm] \vektor{0\\1\\0}+E [/mm] eine Basis ist, die Abbildung kurzerhand so definieren.
"Definiere eine lineare Abbildung [mm] \psi [/mm] durch..."
Für den, der sich auskennt, ist damit alles sonnenklar.
Die Definition ist eindeutig, da der Wert auf einer Basis erklärt wurde,
die Dimension des Bildes ist=1 und nicht =0, also surjektiv und damit injektiv.
Damit ist eigentlich alles fertig.
Aber solche wie Du und ich würden sich natürlich fragen:
und für beliebiges x, was ist da [mm] \psi(x+E)?
[/mm]
Vielleicht wollen das auch die Chefs noch wissen.
>
> > Nun muß man noch nachrechnen, dass [mm]\psi[/mm] wohldefiniert ,
> > linear und bijektiv ist.
>
> Wenn ich meine Abbildung/den isomorphismus habe, dann kann
> ich wohldefiniert, linear, bijektiv zeigen. Aber da ich
> noch nicht den richtigen isomorphismus habe gestaltet es
> sich unsinnig das zu zeigen.
Hm? Wer sagt denn, daß der falsch ist? War ich das? Wenn ja: Schande über mein Haupt.
Ich weiß nicht, mehr, was Du als Basis von E genommen hast, ich sag' jetzt einfach mal [mm] v_2,v_3.
[/mm]
Du mußt solltest jetzt noch erklären, was bei [mm] \psi(a_1\vektor{0\\1\\0}+a_2v_2+a_3v_3) [/mm] rauskommt, und dann kannst Du die Bedingungen zeigen, wenn Du magst.
LG Angela
P.S.: Hat es eigentlich einen bestimmten Grund, daß Du unter zwei Namen schreibst?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 22.01.2012 | | Autor: | davux |
Die Linearität bereitete mir kaum Probleme.
Bei der Wohldefiniertheit habe ich etwas recherchiert und mir zwei Möglichkeiten notiert, die mir plausibel erschienen.
Angenommen, ich habe die Basis [mm] $\{\overline{v}\}$ [/mm] von [mm] $\IR^3/E$ [/mm] mit [mm] \overline{v}=v+E. [/mm] Dann existiert ein Skalar [mm] \lambda [/mm] mit dem ich eine Restklasse [mm] \overline{w} [/mm] eindeutig darstellen kann durch [mm] $\overline{w}=\lambda(v+E)$. [/mm] Jetzt definiere ich die Abbildung [mm] $\Phi: \IR^3/E\to [/mm] G$ mit [mm] $\Phi(\overline{w})=\lambda [/mm] v$. Da [mm] \lambda [/mm] eindeutig ist, kann ich nun sagen, so ist [mm] \Phi [/mm] wohldefiniert.
Die andere kann ich gerade nicht mehr so recht nachvollziehen. Sie baut davon auf, dass ich mir zwei Restklassen nehme, die gleich sein sollen, diese dann abbilde...
Und wegen der Bijektivität habe ich einen Ansatz.
Was ist denn in der Restklasse [mm] $\overline{0}$? [/mm] Ich habe mir das so vorgestellt:
[mm] \overline{0}=0+E. [/mm] Es gilt [mm] \Phi(\overline{0})=0, [/mm] wobei 0 der Nullvektor ist. Damit ist [mm] \Phi [/mm] injektiv. Da [mm] $dim(\IR^3/E)=dim(G)$ [/mm] gilt und für diesen Fall die drei Aussagen i) [mm] \Phi [/mm] ist injektiv, ii) [mm] \Phi [/mm] ist surjektiv und iii) [mm] \Phi [/mm] ist bijektiv äquivalent sind, folgt direkt, [mm] \Phi [/mm] ist bijektiv.
Aber wie gesagt, bis auf die Linearität bin ich mir bei den Sachen nicht ganz sicher.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 So 22.01.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Hallo davux!
Wie bist du denn auf die Abbildung gekommen? An dem Punkt hänge ich auch gerade. Nur ohne Abbildung kann ich ja keine Eigenschaften nachweisen. Wobei ich mir da bei den Eigenschaften auch noch sehr unsicher bin.
MfG
Mathegirl
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> Bei der Wohldefiniertheit habe ich etwas recherchiert und
> mir zwei Möglichkeiten notiert, die mir plausibel
> erschienen.
>
> Angenommen, ich habe die Basis [mm]\{\overline{v}\}[/mm] von [mm]\IR^3/E[/mm]
> mit [mm]\overline{v}=v+E.[/mm] Dann existiert ein Skalar [mm]\lambda[/mm] mit
> dem ich eine Restklasse [mm]\overline{w}[/mm] eindeutig darstellen
> kann durch [mm]\overline{w}=\lambda(v+E)[/mm].
Hallo,
ja, genau.
> Jetzt definiere ich
> die Abbildung [mm]\Phi: \IR^3/E\to G[/mm] mit
> [mm]\Phi(\overline{w})=\lambda v[/mm].
für [mm] \overline{w}=\lambda\overline{v}.
[/mm]
Mit v meinst Du ja jetzt den Basisvektor von G, nicht wahr?
Wie hatten festgestellt, daß seine Äquivalenzklasse ein Basisvektor des Quotientenraumes ist.
> Da [mm]\lambda[/mm] eindeutig ist,
> kann ich nun sagen, so ist [mm]\Phi[/mm] wohldefiniert.
Dieser Argumenttion kann ich folgen.
>
> Die andere kann ich gerade nicht mehr so recht
> nachvollziehen. Sie baut davon auf, dass ich mir zwei
> Restklassen nehme, die gleich sein sollen, diese dann
> abbilde...
Ja. Es geht um das Problem der Repäsentantenunabhängigkeit.
Wenn man Funktionen auf der Menge der Äquivalenzklassen definiert, muß man sicherstellen, daß der Funktionswert unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist, daß also für [mm] \overline{a}=\overline{b} [/mm] auch [mm] f(\overline{a})=f(\overline{b}).
[/mm]
Jetzt gucken wir mal, ob das bei Deiner Def. der Fall ist.
Sei [mm] \overline{w}=\overline{u}. [/mm]
Da [mm] \overline{v} [/mm] eine Basis ist, sind beide [mm] =\lambda\overline{v}, [/mm] also stimmen ihre Funktionswerte überein.
Du wirst nun begreifen, warum Deine frühere Idee [mm] \phi(\overline [/mm] {w}):=w zu setzen für alle [mm] w\in [/mm] U
nicht funktioniert.
> Und wegen der Bijektivität habe ich einen Ansatz.
> Was ist denn in der Restklasse [mm]\overline{0}[/mm]? Ich habe mir
> das so vorgestellt:
> [mm]\overline{0}=0+E.[/mm] Es gilt [mm]\Phi(\overline{0})=0,[/mm] wobei 0
> der Nullvektor ist. Damit ist [mm]\Phi[/mm] injektiv.
Du hast bisher nur gezeigt, daß die Null im Quotientenraum auf die Null in G bgebildet wird. Sofern es sich um eine lineare Abbildung handelt, ist das immer so.
Injektiv bedeutet aber, daß nur(!) die Null auf die Null abgebildet wird.
> Da
> [mm]dim(\IR^3/E)=dim(G)[/mm] gilt und für diesen Fall die drei
> Aussagen i) [mm]\Phi[/mm] ist injektiv, ii) [mm]\Phi[/mm] ist surjektiv und
> iii) [mm]\Phi[/mm] ist bijektiv äquivalent sind, folgt direkt, [mm]\Phi[/mm]
> ist bijektiv.
Ja, wenn eins korrekt gezeigt ist.
>
> Aber wie gesagt, bis auf die Linearität bin ich mir bei
> den Sachen nicht ganz sicher.
Es ist schon ziemlich gut, was Du gemacht hast.
LG Angela
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