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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 13.11.2016 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Sei f:V [mm] \to [/mm] W eine Polynomabbildung zwischen den affinen Varietäten V und W. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
i) [mm] f^{\*} [/mm] : K[W] [mm] \to [/mm] K[V] ist surjektiv.
ii) f(V) ist eine Untervarietät von W und f liefert einen Isomorphismus V [mm] \to [/mm] f(V). |
Guten Abend liebe Matheraum-User!
Die obige Aufgabe soll gelöst werden. Die Rückrichtung habe ich mir ganz gut überlegen können, allerdings fehlt mir bei der Hinrichtung die Idee.
Nach VL gilt [mm] f^{\*} [/mm] : K[W] [mm] \to [/mm] K[V]
h [mm] \mapsto f^{\*}(h) [/mm] = h [mm] \circ [/mm] f.
Nun habe ich mir die Definition der Surjektivität hingeschrieben:
Für alle h [mm] \circ [/mm] f [mm] \in [/mm] K[V] existiert ein h [mm] \in [/mm] K[W] mit [mm] f^{\*}(h) [/mm] = h [mm] \circ [/mm] f.
In der VL haben wir einen Satz, der besagt, dass es zu jeder Polynomabbildung f:V [mm] \to [/mm] W auf affinen Varietäten V, W einen K-Algebren-Homomorphismus [mm] f^{\*} [/mm] : K[W] [mm] \to [/mm] K[V] gibt.
Außerdem kann man aus [mm] f^{\*} [/mm] zuerst [mm] f_{i} [/mm] und somit ganz f gewinnen, indem man die Koordinatenfunktionen [mm] \overline{y_{i}} [/mm] betrachtet [mm] (\overline{y_{i}} [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] + I(W), wobei [mm] y_{i} [/mm] die i-te Projektion ist) : [mm] f^{\*}(\overline{y_{i}}) [/mm] = [mm] f_{i} \in [/mm] K[V].
Allerdings sehe ich im Moment noch nicht, wie mich das großartig weiterbringen könnte.
Hat vielleicht einer von euch eine Idee wie ich an diese Aufgabe rangehen könnte?
Liebe Grüße, MinLi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Di 15.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei f:V [mm]\to[/mm] W eine Polynomabbildung zwischen den affinen
> Varietäten V und W. Zeige, dass folgende Aussagen
> äquivalent sind:
> i) [mm]f^{\*}[/mm] : K[W] [mm]\to[/mm] K[V] ist surjektiv.
> ii) f(V) ist eine Untervarietät von W und f liefert einen
> Isomorphismus V [mm]\to[/mm] f(V).
> Guten Abend liebe Matheraum-User!
>
> Die obige Aufgabe soll gelöst werden. Die Rückrichtung
> habe ich mir ganz gut überlegen können, allerdings fehlt
> mir bei der Hinrichtung die Idee.
>
> Nach VL gilt [mm]f^{\*}[/mm] : K[W] [mm]\to[/mm] K[V]
> h [mm]\mapsto f^{\*}(h)[/mm] = h [mm]\circ[/mm] f.
> Nun habe ich mir die Definition der Surjektivität
> hingeschrieben:
> Für alle h [mm]\circ[/mm] f [mm]\in[/mm] K[V] existiert ein h [mm]\in[/mm] K[W] mit
> [mm]f^{\*}(h)[/mm] = h [mm]\circ[/mm] f.
Da ist Dir wohl ein Fehler unterlaufen, denn es muss "für alle [mm] $y\in K[V]\ldots$" [/mm] lauten.
>
> In der VL haben wir einen Satz, der besagt, dass es zu
> jeder Polynomabbildung f:V [mm]\to[/mm] W auf affinen Varietäten V,
> W einen K-Algebren-Homomorphismus [mm]f^{\*}[/mm] : K[W] [mm]\to[/mm] K[V]
> gibt.
> Außerdem kann man aus [mm]f^{\*}[/mm] zuerst [mm]f_{i}[/mm] und somit ganz
> f gewinnen, indem man die Koordinatenfunktionen
> [mm]\overline{y_{i}}[/mm] betrachtet [mm](\overline{y_{i}}[/mm] = [mm]y_{i}[/mm] +
> I(W), wobei [mm]y_{i}[/mm] die i-te Projektion ist) :
> [mm]f^{\*}(\overline{y_{i}})[/mm] = [mm]f_{i} \in[/mm] K[V].
>
> Allerdings sehe ich im Moment noch nicht, wie mich das
> großartig weiterbringen könnte.
> Hat vielleicht einer von euch eine Idee wie ich an diese
> Aufgabe rangehen könnte?
Ich verstehe Deinen Ansatz so, dass Du ii) vouaussetzt und i) zeigen willst. Betrachte dann die Umkehrfunktion von $f$ und den zur Umkehrfunktion gehörigen Algebrenhomomorphismus.
>
> Liebe Grüße, MinLi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Di 15.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Hallo hippias,
Die Rückrichtung, also die Richtung wo man ii) voraussetzt und i) zeigen möchte habe ich schon gelöst. Ich habe Probleme mit der Hinrichtung, also wenn man i) voraussetzt und ii) zeigen will. Deshalb habe ich versucht f mit Hilfe von [mm] f^{\*} [/mm] darzustellen, was mich aber leider nicht weiter gebracht hat.
Vielleicht hast du zu dieser Richtung auch eine Idee die du mir sagen könntest.
LG, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 16.11.2016 | | Autor: | hippias |
Insbesondere ist ersteinmal zu zeigen, dass $f(V)$ eine algebraische Varietät ist, es also eine Menge $K$ von Polynomen gibt mit $f(V)= V(K)$. Sei also $h$ ein Polynom mit $h(f(V))=0$. Wie könnte man dies mit [mm] $f^{*}$ [/mm] ausdrücken? Wo liegt also $h$?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:18 Mi 16.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Nach der Definition von [mm] f^{\*} [/mm] ist (h [mm] \circ [/mm] f)(V) = [mm] f^{\*}(h(V)) \in [/mm] K[V]. Somit liegt h in K[W]. Außerdem ist [mm] f^{\*} [/mm] nach Voraussetzung surjektiv, also wird jedes Element in K[V] getroffen, insbesondere auch die 0. Somit existiert ein h in K[W] sodass gilt:
[mm] f^{\*}(h(V)) [/mm] = (h [mm] \circ [/mm] f)(V) = h(f(V)) = 0.
Also existiert eine Menge K von Polynomen mit f(V) = V(K) (da es mindestens ein solches Polynom gibt) und somit ist f(V) eine algebraische Varietät.
Da f: V [mm] \to [/mm] W eine wohldefinierte Abbildung ist, gilt f(V) [mm] \subset [/mm] W.
Somit gilt insgesamt, dass f(V) eine Untervarietät von W ist.
Sind meine Überlegungen so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 19.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Mo 21.11.2016 | | Autor: | hippias |
Nein, das ist nicht zielführend. Einerseits ist es wegen [mm] $f^{\*}(0)=0$ [/mm] trivial, dass $0$ im Bild von [mm] $f^{\*}$ [/mm] liegt; andererseits entspricht Dein Nachweis nicht der Definition einer Varietät.
Der Nachweis, dass $f$ Isomorphismus ist, gelingt mit Hilfe der Koordinatenabbildungen: Du hast sie schon ins Spiel gebracht. Aber der Nachweis, dass $f(V)$ eine Untervarietät ist, war für mich der schwierigere Teil, der auch nur richtig ist, falls $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Hast Du vielleicht vergessen diese Voraussetzung zu erwähnen?
Für [mm] $x\in [/mm] V(I(f(V)))$ betrachte ich das maximale Ideal [mm] $I(x)\leq [/mm] K[W]$. Überlege Dir, dass unter den gemachten Voraussetzungen auch [mm] $f^{\*}(I(x))\leq [/mm] K[V]$ maximales Ideal ist, sodass [mm] $V(f^{\*}(I(x)))= \{v\}$ [/mm] für ein [mm] $v\in [/mm] V$ ist. Zeige schliesslich $f(v)=x$.
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