Isomorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 18.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab da mal ein paar Fragen zum Thema Isomorphismus.
Also wie ich jetzt in zwei meiner Bücher gelesen habe, kann man wohl zwei Vektorräume als quasi gleich ansehen, wenn man zwischen ihnen eine lineare bijektive Abbildung (=Isomorphismus) findet.
Und gleich heißt dann sowas, wie wenn in dem einem Vektorraum ein bestimmter Unterraum die Dimension 5 hat, dann hat der quasi gleiche Unterraum im zweiten Vektorraum das auch, so Sachen halt.
Was ich da nicht verstehe, warum brauch ich dafür einen Isomorphismus zwischen den Vektorräumen? Also dass ich irgendwie eine Abbildung dazwischen brauch, kann ich mir evtl. noch erklären.
Wenn ich die Vektorräume miteinander vergleichen will, dann müssen ja quasi die Relationen zwischen den Elementen im einen Vektorraum genau die gleichen Relationen sein, wie zwischen den Elementen in dem anderen Vektorraum. Also quasi sollen zwischen zwei Urbildern die gleichen Relationen herrschen wie zwischen den zugehörigen Bildern. So könnte man das vielleicht als Abbildung betrachten, kann man das so sagen?
Und dann noch linear, weil ja auch für Summen und Skalarprodukte von Urbildern und Bildern die gleichen Relationen gelten sollen/müssen, damit man von einer "Gleichheit" sprechen kann? Könnte man das so sagen?
Aber warum brauche ich eine bijektive Abbildung? Oder anders: warum kann man bei nichtbijektiven Abbildungen (Monomorphismen, Epimorphismen) zwischen den Vektorräumen nicht sagen, dass die Vektorräume dann "gleich" sind? Vielleicht hat auch jemand mal ein anschauliches Beispiel dazu?
Und dann gibt es ja noch Endomorphismen und Automorphismen, bei denen sind ja die beiden Vektorräume, zwischen denen man abbildet, gleich. Da verstehe ich nicht so ganz, wofür man das so braucht. Weil wenn ich z.B. einen Auotmorphismus zwischen zwei Vektorräumen habe, also einen Isomorphismus zwischen zwei gleichen Vektorräumen, dann sind die Vektorräume ja quasi gleich, aber das sind sie ja sowieso schon... Ich verstehe da die mögliche Anwendung nicht so ganz.
Wäre ganz super, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank!
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Aber warum brauche ich eine bijektive Abbildung? Oder
> anders: warum kann man bei nichtbijektiven Abbildungen
> (Monomorphismen, Epimorphismen) zwischen den Vektorräumen
> nicht sagen, dass die Vektorräume dann "gleich" sind?
> Vielleicht hat auch jemand mal ein anschauliches Beispiel
> dazu?
Ich denke, das ist leicht: Die Einbettungsabbildung
[mm] f:\IR^2\to\IR^3 [/mm] mit f(x,y)=(x,y,0) ist injektiv und linear,
aber nicht surjektiv. Und [mm] \IR^2 [/mm] ist nun wirklich nicht isomorph
zu [mm] \IR^3 [/mm] schon wegen der unterschiedlichen Dimension.
LG Al
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Hallo,
ein Prof von mir sagte einmal:
Stellen Sie sich isomorphe Vektorräume als die verschiedenen Häuser in einer Reihenhaussiedlung vor. Alle sind unterschiedlich eingerichtet, aber wenn sie nachts im Dunkeln auf Klo müssen kennen Sie genau den Weg.
Soll heißen: Die Struktur ist gleich, aber die Objekte sind verschieden.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für eure Antworten.
Was ich mich jetzt noch frage, ist, warum es gerade die bijektive Abbildung schafft, alles gleich zu lassen.
Bzw. in meinem Skript wurde zum Beispiel garnicht erwähnt, dass isomorphe Vektorräume quasi gleich sein.
Wenn ich jetzt nur wüsste, ich hab zwei Vektorräume und dazwischen eine lineare Abbildung, die bijektiv ist.
Da würde ich NIE auf die Idee kommen, dass die beiden Vektorräume quasi gleich sind und dass alle Elemente aus dem einen Vektorraum auf die entsprechenden Elemente des anderen Vektorraums abgebildet werden (z.B. Basisvektoren des einen Vektorraums werden auf Basisvektoren des anderen Vektorraums abgebildet).
Kann mir das jemand erklären?
LG, Nadine
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> Vielen Dank für eure Antworten.
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> Was ich mich jetzt noch frage, ist, warum es gerade die
> bijektive Abbildung schafft, alles gleich zu lassen.
>
> Bzw. in meinem Skript wurde zum Beispiel garnicht erwähnt,
> dass isomorphe Vektorräume quasi gleich sein.
>
> Wenn ich jetzt nur wüsste, ich hab zwei Vektorräume und
> dazwischen eine lineare Abbildung, die bijektiv ist.
>
> Da würde ich NIE auf die Idee kommen, dass die beiden
> Vektorräume quasi gleich sind und dass alle Elemente aus
> dem einen Vektorraum auf die entsprechenden Elemente des
> anderen Vektorraums abgebildet werden (z.B. Basisvektoren
> des einen Vektorraums werden auf Basisvektoren des anderen
> Vektorraums abgebildet).
>
> Kann mir das jemand erklären?
>
> LG, Nadine
Hallo Nadine,
nehmen wir mal als Beispiel zwei dreidimensionale
Vektorräume über [mm] \IR [/mm] (gleicher Grundkörper muss
natürlich vorausgesetzt werden):
Raum U mit Basis [mm] (u_1,u_2,u_3)
[/mm]
Raum V mit Basis [mm] (v_1,v_2,v_3)
[/mm]
Nun wäre natürlich eine mögliche bijektive Abbildung
[mm] f:U\to [/mm] V jene, welche [mm] u_1 [/mm] auf [mm] v_1, u_2 [/mm] auf [mm] v_2 [/mm] und
[mm] u_3 [/mm] auf [mm] v_3 [/mm] abbildet. Bei dieser Bijektion würde dem
Vektor [mm] (x,y,z)_U [/mm] der Vektor [mm] (x,y,z)_V [/mm] zugeordnet.
Diese Abbildung ist aber nur eine aus einer unend-
lichen Vielfalt von möglichen bijektiven Abbildungen
von U auf V.
Nehmen wir nur ein zweites Beispiel: Die Abbildung
[mm] g:U\to [/mm] V mit [mm] g((x,y,z)_U)=(3x-y,z-x-y,2y)_V
[/mm]
(ich hoffe, die Schreibweise ist klar) wäre auch eine
bijektive Abbildung von U auf V. Dabei ist
$\ [mm] g(u_1)\ [/mm] =\ [mm] (3,-1,0)_V\ [/mm] =\ [mm] 3v_1-v_2\ [/mm] =\ [mm] w_1$
[/mm]
$\ [mm] g(u_2)\ [/mm] =\ [mm] (-1,-1,2)_V\ [/mm] =\ [mm] -v_1-v_2+2v_3\ [/mm] =\ [mm] w_2$
[/mm]
$\ [mm] g(u_3)\ [/mm] =\ [mm] (0,1,0)_V\ [/mm] =\ [mm] v_2\ [/mm] =\ [mm] w_3$
[/mm]
Bei dieser Abbildung wird also die Basis [mm] (u_1,u_2,u_3)
[/mm]
nicht auf die Basis [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] abgebildet, aber
auf [mm] (w_1,w_2,w_3). [/mm] Dies ist aber ebenfalls eine mögliche
Basis für den Vektorraum V (*). Wenn wir die Elemente von
V nicht durch die ursprüngliche Basis [mm] (v_1,v_2,v_3), [/mm] sondern
mittels der neuen Basis [mm] (w_1,w_2,w_3) [/mm] ausdrücken -
und dabei den Vektorraum nun W nennen, um Ver-
wechslungen auszuschließen, dann wird die induzierte
Abbildung [mm] g^{\*}:U\to [/mm] W durch die Gleichung
[mm] g^{\*}((x,y,z)_U)=(x,y,z)_W
[/mm]
beschrieben. Also haben wir offensichtlich eine
Isomorphie. Alle die Linearität betreffenden Eigen-
schaften der Vektorräume bleiben bei einer solchen
Isomorphie erhalten.
Aber Vorsicht: Betrachtet man in diesen Räumen
etwa noch ein Skalarprodukt und damit eine Metrik,
dann ist es diesbezüglich aus mit der Isomorphie !
(*): Dass dies so ist, muss natürlich nachge-
wiesen werden (Unabhängigkeit !).
LG Al
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Mein Doktorvater sagte einmal:
"Isomorphe Vektorräume unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente"
FRED
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